Глава третья. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ ЛОМАНЫХ И ВЕТВЯЩИХСЯ ТРЕЩИН

Полученные в первой главе сингулярные интегральные уравнения основных граничных задач плоской теории упругости справедливы как для гладких, так и для ломаных и ветвящихся разрезов и кусочно-гладких граничных контуров. Однако в случае упругих областей с угловыми точками свойства интегральных уравнений усложняются, что требует их дополнительного исследования. Если для областей, ограниченных гладкими контурами, с гладкими криволинейными разрезами сингулярные части ядер интегральных уравнений содержат только ядро Коши, то в них также имеются слагаемые с неподвижными особенностями. При этом искомые решения имеют в угловой точке две различные особенности степенного типа, соответствующие симметричному и антисимметричному распределению напряжений относительно биссектрисы клиновидной области. Это обстоятельство очень усложняет численное решение интегральных уравнений. Поэтому в численном анализе часто используют приближенные подходы, не учитывающие особенности в угловых точках или же учитывающие только одну особенность высшего порядка (см., например, работы [95, 146, 156]). Обзор исследований по решению задач теории упругости для областей с угловыми точками имеется в работах [47, 75].

В данной главе изложен подход, позволяющий находить численное решение интегральных уравнений в случае кусочно-гладких граничных контуров с учетом обеих особенностей решения в угловой точке. При определении коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах ломаных и ветвящихся трещин также предложена упрощенная схема численного решения интегральных уравнений, в которой не точно учитываются особенности решения в угловой точке или точке ветвления.

1. Распределение напряжений и смещений вблизи угловой точки граничного контура

Исследуем распределение напряжений и смещений около угловой точки на граничном контуре упругой области, находящейся в условиях плоской деформации или плоского

напряженного состояния [98, 101]. Разбив кусочно-гладкий граничный контур на сумму гладких контуров с концами в угловых точках или в вершинах разомкнутых разрезов, воспользуемся при решении этой задачи полученными выше результатами (см. параграф 2 лервой главы) при изучении поведения интеграла типа Коши и некоторых других комплексных интегралов вблизи концов линии интегрирования, когда их плотности имеют особенности степенного характера.

Представление комплексных потенциалов. Пусть в упругой области граничный контур представляет собой совокупность кусочно-гладких замкнутых и разомкнутых контуров и его можно также представить как сумму гладких разомкнутых контуров Предположим, что на каждом из замкнутых или разомкнутых контуров действует самоуравновешенная нагрузка, причем скачок напряжений при переходе через контуры разрезов равен нулю. Тогда напряженно-деформированное состояние в области 5 определится комплексными потенциалами напряжений которые можно представить в виде

Рис. 23.

Дополним область до всей плоскости таким образом, чтобы при переходе через замкнутые контуры напряжения оставались непрерывными. Тогда комплексные потенциалы (3.1) определяют решение задачи во всей бесконечной плоскости [95]. Такая интерпретация формул (3.1) позволяет единообразно исследовать поведение напряжений и смещений вблизи угловой точки как на внутренних контурах (разрезах), так и на внешней границе.

Будем считать, что плотности потенциалов (3.1) на разомкнутых контурах можно представить в виде

где комплексные постоянные; на контуре причем предельные

значения на контуре функций

— действительные величины углы, показанные на рис. 23.

Воспользовавшись представлениями интегралов (1.35), (1.39) и (1.45), найдем

Здесь

углы и показаны на рис. 23.

Отметим, что сингулярная часть в представлениях комплексных потенциалов напряжений (3.4), содержащая все особенности решения вблизи узловых точек граничного контура, выражена в явном виде через элементарные функции. Это позволяет сравнительно просто исследовать с помощью потенциалов (3.4) распределение напряжений и смещений в окрестности узловых точек границы.

Характеристические уравнения. Пусть узел является угловой точкой контура (см. рис. 23). Использовав соотношения (1.4), (1.5) и (3.4), выпишем сингулярную часть компонент напряжений вблизи этой точки:

При

второе из соотношений (3.6) можно представить в виде

Предположим, что угол между правым и левым касательными векторами к контуру в угловой точке 4 (см. рис. 23) меньше В этом случае при стремлении справа от контура напряжения должны оставаться ограниченными. При таком стремлении к 4 имеют место соотношения

Тогда из первой формулы (3.6) следует

Учитывая формулы (3.8) и (3.9), из соотношения (3.7) приходим к равенству

где

Представим комплексную постоянную в виде

где действительные величины. Тогда из уравнения (3.10) получим

Отсюда следуют равенства

которые являются известными [116, 119, 182] характеристическими трансцендентными уравнениями, соответствующими симметричному (3.14) и антисимметричному (3.15) распределению напряжений относительно биссектрисы угла клиновидной области.

Анализ уравнения (3.14) показывает, что оно имеет при в интервале один вещественный корень Уравнение (3.15) имеет вещественный корень удовлетворяющий условию только при Значение определяется из равенства [116]

Ниже приведены численные значения параметров

Из анализа этих данных заключаем, что порядок особенности функции и компонент напряжений в угловых точках граничного контура всегда меньше, чем на концах разреза или в точке возврата где он равен 1/2.

Рис. 24.

Асимптотические формулы для напряжений и смещений вблизи вершины углового выреза. Как и выше, будем предполагать, что угол между правым и левым касательными векторами к контуру в угловой точке (см. рис. 23) меньше . Найдем главную часть асимптотического разложения компонент напряжений и смещений при приближении слева от контура В этом случае

Введем локальные полярные координаты и с полюсом в угловой точке 4 и полярной осью, которая направлена вдоль биссектрисы угла, образованного касательными векторами к контуру в угловой точке. Ось х декартовой системы координат также направим вдоль полярной оси (рис. 24). Тогда справедливы равенства

С помощью соотношений (3.16) и (3.17) из формул (3.6) и (3.7) найдем

Введем обозначения

Тогда из соотношений (3.18) получим

где

В формулах (3.20) и (3.21) опущен индекс в величинах

Распределение смещений в окрестности угловой точки контура найдем при использовании соотношений (3.20) и закона Гука

где

В случае наличия точки возврата на граничном контуре из формул (3.20) и (3.22) следуют соотношения, совпадающие с асимптотическими равенствами (1.76) для криволинейной трещины.

Коэффициенты интенсивности напряжений у вершины углового выреза как видно из соотношений (3.20), можно определить по формулам

где и нормальное и касательное напряжения на оси х локальной системы координат с началом в вершине выреза (см. рис. 24).