5. Краевая трещина во взаимодополняющихся внешней и внутренней областях

Рассмотренные выше сингулярные интегральные уравнения задач о краевых трещинах строились путем предельного перехода в соответствующих интегральных уравнениях для областей с изолированными прямолинейными разрезами. При

численном решении полученных уравнений внешняя граница конечной пластины или отверстия представляла собой контур замкнутого симметричной формы криволинейного разреза, начало и конец которого совпадали с одной какой-либо из вершин прямолинейной трещины (см. рис. 39). Предположим теперь, что плоскость с прямолинейной трещиной разбивается на две взаимодополняющиеся внутреннюю и внешнюю области замкнутым разрезом начинающимся и оканчивающимся в середине трещины (см. рис. 42; — длина трещины диаметр внутренней области, Следовательно, при действии нагрузки на контурах приходим к двум задачам (внутренней и внешней) о краевой трещине, для которых сингулярные интегральные уравнения одни и те же. Поэтому, имея одно уравнение на общем контуре представляется возможным одновременно находить численные решения указанных задач по изложенной выше методике.

Рис. 42.

Пусть на берегах прямолинейной трещины и на контуре (см. рис. 42) действуют симметричные относительно оси нагрузки (см. граничные условия (4.57)).

Рассуждая так же, как в параграфе 3 настоящей главы, приходим к одному сингулярному уравнению (4.68), ядра которого даются соотношениями

Здесь

величины определяются из выражений (3.86) и (3.87).

Заменой переменных (4.58) сведем интегральное уравнение по контуру к уравнению в безразмерных координатах, численное решение которого в классе функций, неограниченных на концах отрезка будем искать при дополнительном условии (4.69), устраняющем заложенную особенность искомой функции в точках

Значения исключенной на прямолинейном отрезке функции определим по формулам

где

Таким образом, с помощью формул (4.72) одновременно можно определять коэффициенты интенсивности напряжений для взаимодополняющих внутренней и внешней (см. рис. 42) областей с краевыми трещинами.

Прямолинейная трещина, выходящая на эллиптическую границу двух взаимодополняющих областей. Найдем численное решение задач в случае, когда на берегах трещины действует нормальное равномерно распределенное давление а контур имеющий форму эллипса (4.56) (см. рис. 42), свободен от напряжений Тогда выражение (4.73) дает

а коэффициенты интенсивности напряжений у вершин прямолинейного разреза вычислим по формулам

Табл. 17 содержит численные значения безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений для рассматриваемых

внутренней и внешней взаимодополняющих областей с краевыми разрезами при различных отношениях осей эллипса и значениях параметра Ввиду симметрии коэффициенты интенсивности напряжений для обеих задач равны нулю. При отношениях осей эллиптического отверстия приходим к аналогичным задачам о краевых радиальных трещинах в плоскости с круговым отверстием и в круглом диске, которые рассматривались также другими авторами. Сопоставление результатов, найденных по формулам (4.74), с данными, полученными, например, в работах [70, 95], показывает, что они практически совпадают.

Таблица 17. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для двух взаимодополняющихся областей с эллиптической границей и краевой трещиной под давлением

Рассмотрим теперь задачу о растяжении указанных внутренней и внешней областей с краевыми трещинами сосредоточенными силами приложенными в точках и действующими перпендикулярно к разрезу (см. рис. 42). Считаем, что берега трещины и контур свободны от нагрузки, т. е. в граничных условиях (4.57) следует положить В этом случае нагружения необходимо также рассматривать сингулярное интегральное уравнение (4.68) с ядрами (4.71) и с правой частью

где

Таблица 18. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для двух взаимодопод сосредоточенными силами

функции определяются соотношениями (4.38).

Подставив функцию

няющихся областей с эллиптической границей и краевой трещиной при растяжении

(см. скан)

в формулу (4.73), получим

Величины определим из соотношений (3.76) и (3.77).

Найдем численное решение поставленной задачи в предельном случае, когда точки приложения сосредоточенных сил находятся на берегах разреза Тогда, как это уже имело место (см. параграф 5 третьей, а также параграф 2 четвертой главы), формула (4.75) при превращается в равенство

где

Вычисления по формуле (4.73) при и дают следующее выражение функции входящей в соотношения (4.72) для определения безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений:

Рис. 43.

Рис. 44.

Табл. 18 содержит значения коэффициентов интенсивности напряжений (над чертой) и (под чертой) соответственно для внутренней и внешней взаимодополняющих областей с краевой трещиной (см. рис. 42), полученные в результате численного решения сингулярного интегрального уравнения (4.68) с ядрами (4.71) и правой частью (4.78). Параметр характеризует относительное расстояние точек приложения сосредоточенных сил от точки пересечения контуров параметр как и выше, — отношение малой и большой осей эллипса, длину трещины относительно большой оси эллиптического контура

Таким же путем могут быть одновременно найдены численные решения задач о краевых трещинах для внешней и внутренней взаимодополняющих областей других симметричных очертаний.

Прямолинейная трещина, выходящая на граничный контур в форме криволинейного квадрата. Принимая в расчетах параметрическое уравнение контура в виде [91]

или

где линейный параметр обозначает соответственно длину стороны или длину диагонали криволинейных квадратов, измеряемую вдоль оси получаем коэффициенты интенсивности напряжений для растягиваемых сосредоточенными силами взаимодополняющих внутренней и внешней областей с краевой трещиной, изображенных на рис. 43 и 44.

Таблица 19. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для трещины, выхо дящей на граничные контуры в форме криволинейных квадратов

В табл. 19 приведены зависимости функций для рассматриваемых внешней и внутренней взаимодополняющих областей с краевой трещиной от геометрических параметров задач

(данные над чертой соответствуют области, приведенной на рис. 43, под чертой — области, приведенной на рис. 44).

Если вместо уравнений (4.79) и (4.80) взять, например, выражения [91]

приводящие к спрямлению сторон и уменьшению радиуса закругления углов рассмотренных выше криволинейных квадратов, то полученные при этом численные значения функций для и 60,5 мало отличаются от приведенных в табл. 19 безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений (табл. 20). Следовательно, можно с некоторой степенью точности считать, что найденные решения соответствуют решениям задач о трещине, выходящей на контур являющийся границей квадрата с прямолинейными сторонами (см. рис. 43 и 44, где параметр 2а обозначает сторону (см. рис. 43) или диагональ (см. рис. 44) квадрата).

Таблица 20. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для трещины, выходящей на граничный контур в форме криволинейных квадратов, параметрическое уравнение которых содержит два или три слагаемых

Отметим, что рассмотренный в настоящей главе подход к решению задач о краевой трещине предполагает наличие силовой и геометрической симметрии. И поскольку заранее известно, что исключенная на прямолинейном краевом разрезе искомая функция является действительной, то это позволяет несколько упростить ядра и правую часть модифицированного сингулярного интегрального уравнения.

В частности, для задач о краевой трещине, рассмотренных в данном параграфе, входящие в ядра (4.71) функции могут быть получены из выражений

При этом (см. формулы

Величины даются соотношениями (3.83).

Для правой части (см. формулу получим равенство

где

Сравнение приведенных здесь выражений с аналогичными величинами (3.86), (3.87) и (3.88) показывает! что функции (4.81), (4.82) и (4.84) имеют более простой вид. Численные решения последних двух примеров, приведенных в настоящем параграфе, получены с использованием выражений (4.81) — (4.84).