Глава шестая. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ О ТРЕЩИНАХ В НЕКОТОРЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ

В третьей и четвертой главах был предложен и проиллюстрирован на конкретных примерах подход к решению задач теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и трещинами, среди которых имеется хотя бы одна прямолинейная. При этом с помощью общего решения (в квадратурах) сингулярного интегрального уравнения задачи для прямолинейной трещины в бесконечной плоскости понижен порядок исходной системы сингулярных интегральных уравнений. Такое преобразование интегральных уравнений возможно при наличии общего решения краевой задачи для области, граница которой является составной частью края рассматриваемого многосвязного тела. В данной главе с этой целью используется общее решение первой основной задачи для эллиптической пластины и кругового кольца в виде степенных рядов [49, 123]. Таким путем рассматривается система криволинейных отверстий и трещин в указанных областях, что приводит к тождественному удовлетворению краевых условий на границах эллиптической пластины и кругового кольца. Некоторые из таких задач изучались в работах [6—9, 123].

Рис. 60.

1. Эллиптическая пластина с криволинейными отверстиями и трещинами

Исследуем упругое равновесие изотропной пластины, занимающей в декартовой системе координат область 5, ограниченную эллипсом с осями 2а и причем большая ось совпадает по направлению с осью Пластина ослаблена криволинейными отверстиями с гладкими границами разрезами (трещинами) вдоль разомкнутых контуров Контуры отнесены к локальным декартовым системам координат начала которых в основной системе определяются комплексными координатами а оси образуют углы с осью (рис. 60). Требуется определить напряженно-деформированное состояние в такой пластине. Случай криволинейных

трещин в эллиптической пластине рассматривался в работе [6]. Ниже эта задача изучается в более общем виде, когда пластина ослаблена также отверстиями.

Будем считать, что берега трещин нагружены самоуравновешенными усилиями

и в процессе деформации не контактируют. На замкнутых контурах заданы самоуравновешенные усилия

а граница свободна от внешних напряжений.

Воспользуемся интегральными представлениями общего решения задачи для бесконечной плоскости, ослабленной системой отверстий и разрезов. Примем, что все кривые расположены внутри контура параметрическое уравнение которого возьмем в виде

Будем искать комплексные потенциалы напряжений в форме

где

Напряжения на контуре имеют вид [49]

где Подставляя в формулу (6.5) выражения (6.4), находим

где

Определим теперь комплексные потенциалы для

сплошной эллиптической пластины, когда на ее контуре действуют напряжения, равные по величине и противоположные по направлению напряжениям, определяемым соотношениями (6.6). Воспользовавшись результатами работы [123], получим

Здесь

целая часть от биномиальные коэффициенты, постоянные даются соотношениями

Величины определяются из разложения комбинации напряжений (6.6) в комплексный ряд Фурье

где

Из формул (6.6) и (6.10) следует

Сумма функций напряжений

в которых коэффициенты даются соотношениями (6.12), характеризует напряженно-деформированное состояние эллиптической пластины с отверстиями и трещинами и со свободной от нагрузки внешней границей

Подставляя комплексные потенциалы (6.13) в формулу [92]

приходим к системе сингулярных интегральных уравнений для определения неизвестных функций

где

при при дуговая абсцисса точки

К левым частям уравнений (6.15) прибавлены операторы [95]

(равные нулю при выполнении условий равновесия), которые вместе с условиями

обеспечивают разрешимость системы (6.15) при любой правой части.

Таким образом, задача об определении напряженно-деформированного состояния эллиптической пластины, ослабленной системой криволинейных отверстий и трещин, сведена к решению сингулярных интегральных уравнений.