4. Краевые криволинейные разрезы в круговом кольце

В предыдущем параграфе были рассмотрены криволинейные трещины, не выходящие на границу кольца. Особый интерес вызывает также случай, когда кольцо ослаблено краевыми трещинами, выходящими на одну из круговых границ. Такая схема используется при исследовании разрушения камер давления, волочильного инструмента, трубопроводов и других конструкций, на поверхности которых имеются концентраторы напряжений в виде царапин или трещин, возникших в процессе изготовления, а также при транспортировке или эксплуатации.

Решим в рамках того же подхода, что и для внутренней трещины, задачу для краевой трещины, выходящей на одну из границ кольца [9, 78, 79]. Сингулярное интегральное уравнение такой задачи имеет вид (6.22). Известно [95], что в случае внутренних разрезов ядра интегральных представлений потенциалов и (и интегральных уравнений) определяются с точностью до любой функции вследствие выполнения условий (6.18) однозначности смещений при обходе контура каждой трещины. Если разрезы выходят на край области, указанные условия нарушаются из-за изменения ее связности. Тогда несколько меняется структура интегрального уравнения и оно всегда имеет единственное решение. Для краевых трещин произвольную функцию можно выбрать таким образом, чтобы обеспечивалось равенство нулю полного ядра в точке выхода трещины на край области [93], т. е.

либо

Здесь обозначает конец трещины, выходящий на внешнюю или внутреннюю границу кольца. Условия (6.26), (6.27) служат в качестве дополнительных соотношений для однозначного определения ядер интегральных уравнений и потенциалов в случае краевых трещин.

С учетом указанного интегральное уравнение (6.22) после замены переменных (1.134) примет вид [9]

где

Будем разыскивать функцию в виде

Воспользовавшись методом механических квадратур, приходим к системе линейных алгебраических уравнений -число квадратурных узлов на контуре трещины)

для определения неизвестных значений и функции

В случае разреза, выходящего на внутреннюю границу кольца, функция при (что соответствует точке выхода трещины на край области) должна иметь особенность меньшего порядка, чем Полагая получаем алгебраическое уравнение [95]

замыкающее систему (6.29).

По тем же соображениям записываем недостающее уравнение для внешней краевой трещины

или в развернутом виде

Коэффициенты интенсивности напряжений у вершин трещины рассчитываем по формулам (1.173) на основании решения системы соответствующих алгебраических уравнений. Кольцо нагружено нормальным растягивающим давлением интенсивностью равномерно распределенным по обеим его границам. При вычислениях на ЭВМ в разложениях ядер (6.21) удерживалось по 15 членов ряда, параметр принимался равным для выбранных значений параметров оказалось достаточным ограничиться квадратурными узлами на контуре трещины.

В качестве примера на рис. 68—70 показано изменение коэффициентов интенсивности напряжений (сплошные линии) и

К (штриховые линии) в зависимости от параметра для краевой трещины, выходящей на внешний край кольца (система алгебраических уравнений (6.29), (6.31), индекс коэффициентов опущен).

Рис. 68.

Рис. 69.

Исследованы трещины по дуге окружности (рис. 68), параболы (рис. 69) и полуэллипса (рис. 70) (параметрические уравнения (6.23), (6.24) и (6.25) соответственно) при различных относительных длинах трещины Анализ рис. 68— 70 показывает, что в случае окружности является монотонно возрастающей функцией параметров а коэффициент возрастая по мере увеличения X, убывает с ростом Для трещины по дуге параболы мало изменяется с ростом а с увеличением X оба коэффициента возрастают. В отличие от двух предыдущих случаев конфигурации коэффициенты интенсивности напряжений для трещины по дуге полуэллипса — монотонно возрастающие функции параметров и В предельном случае при значения коэффициентов интенсивности напряжений хорошо согласуются со значениями коэффициентов интенсивности напряжений для прямолинейного краевого разреза, нагруженного постоянным давлением [175].

В заключение отметим, что использованный выше метод, согласно которому комплексные потенциалы напряжений и ядра сингулярных интегральных уравнений представляются степенными

Рис. 70.

рядами, не лишен ряда существенных недостатков. Являясь достаточно общим, он предполагает, что основное напряженное состояние для сплошного эллипса или кольца известно. В ряде случаев (например, при действии сосредоточенных сил или разрывных нагрузок) такое решение для указанных областей без трещин имеет очень сложный и громоздкий вид, что делает метод малоэффективным для исследования таких задач. Кроме того, ядра сингулярного интегрального уравнения представляются рядами, замена которых конечными суммами при численной реализации задач на ЭВМ отрицательно сказывается на точности получаемого при этом решения. Указанные недостатки метода степенных рядов ограничивают его использование. Разработке подхода, свободного от указанных недостатков, посвящена следующая глава.