5. Интегральные уравнения двухмерных задач теории упругости для тел с краевыми разрезами

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главе). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины.

Постановка задачи и ее сведение к интегральным уравнениям. Пусть область 5, занятая упругим изотропным телом, ограничена одним или несколькими замкнутыми контурами где первые контуров расположены вне друг друга, а последний охватывает все остальные. При этом контур состоит из контуров (контур отверстия, из которого исходят краевые трещины, или совокупность контуров отверстий, соединенных разрезами) (совокупность контуров краевых разрезов и (или) разрезов, соединяющих контуры отверстий). Кроме в области имеется криволинейных изолированных разрезов Положительным направлением обхода контуров будем считать то, при котором область остается слева (рис. 7). Пусть где совокупность контуров отверстий и внешней границы (без краевых разрезов), совокупность изолированных и краевых разрезов, а также разрезов, соединяющих отверстия, т. е.

Рассмотрим первую основную задачу плоской теории упругости, когда на границе области заданы напряжения

Рис. 7.

При этом имеют место соотношения

которые выражают равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре

Пусть проекции на оси главного вектора усилий, приложенных к контуру отверстия (или отверстий) т. е.

Тогда комплексные потенциалы напряжений Колосова — Мусхелишвили в области 5 можно представить в виде

где точки, произвольно расположенные внутри контуров причем

Будем искать голоморфные в области 5 функции характеризующие такое напряженное состояние, когда главные векторы внешних усилий, действующих на контуре L равны нулю, в виде

где

Подставив потенциалы (1.160), (1.161) в граничное условие (1.157), получим сингулярное интегральное уравнение

для определения неизвестной функции Здесь ядра и символы даются соотношениями (1.68) и (1.81); -дуговая абсцисса, соответствующая точке

К левой части уравнения (1.163) прибавлены функционалы

Тогда уравнение (1.163) для любой правой части имеет единственное решение при выполнении дополнительных условий

следующих из однозначности смещений при обходе контуров изолированных разрезов. При выполнении условий равновесия (1.158) функционалы (1.165) равны нулю, так что полученное уравнение (1.163) дает решение поставленной задачи.

Рис. 8.

Уравнение (1.163) построено путем предельного перехода из разрешимого сингулярного интегрального уравнения, которое записано для многосвязной области, содержащей изолированные разрезы и ограниченной гладким контуром (см. уравнение (1.80)), когда стремится к первоначальному граничному контуру Проиллюстрируем этот предельный переход в случае односвязной области 5 с одним краевым разрезом (рис. 8). Предположим, что на внешней границе и на берегах разреза заданы напряжения (1.157), причем при

Рассмотрим вспомогательную граничную задачу для односвязной области, ограниченной гладким контуром (см. рис. 8), на котором действует самоуравновешенная нагрузка

Такая задача сводится к уравнению

где регулярные ядра даются формулами (1.68), а

Уравнение (1.168) разрешимо при любой правой части а функционалы равны нулю, когда внешняя нагрузка самоуравновешена.

Будем считать, что где левый и правый берега разреза Тогда интегралы в уравнении (1.168) преобразуются следующим образом:

Здесь Следовательно, при предельном переходе получаем разрешимое сингулярное интегральное уравнение, совпадающее по форме с уравнением (1.168), если в последнем заменить на на

В случае, когда при к полученному уравнению добавляются известные слагаемые, содержащие (см. уравнение (1.163)), что, очевидно, не нарушает его разрешимости.

Рис. 9.

Сравнение построенного интегрального уравнения (1.163) с уравнением (1.80) при отсутствии краевых разрезов показывает, что по внешнему виду они отличаются только тем, что в функционалах к контурам отверстий прибавляются контуры соответствующих краевых разрезов. Легко видеть, что аналогичным образом могут быть обобщены сингулярные интегральные уравнения других граничных задач: второй граничной задачи плоской теории упругости [94—96], основных антиплоских задач теории упругости [95, 96] и плоских задач теплопроводности и термоупругости [69, 95, 96].

На основе уравнения (1.163) ниже получены численные решения задач в случае бесконечной плоскости, ослабленной одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины.

Одноосное растяжение бесконечной плоскости с круговым отверстием и краевой радиальной трещиной. Пусть контур отверстия и берега трещивы свободны от нагрузки, а на бесконечности плоскость растягивается усилиями направленными под углом у к линии трещины (рис. 9). Поскольку область бесконечная, то контур отсутствует. К потенциалам (1.161) следует прибавить функции

которые определяют напряженное состояние в сплошной плоскости. Тогда задача приводится к уравнению (1.163) при

Численное решение этого уравнения получим методом механических квадратур [95]. В результате придем к системе линейных алгебраических уравнений

относительно неизвестных

Здесь

Коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины определяются по формуле

Для некоторых значений параметров задачи в табл. 1 приведены безразмерные величины Эти результаты хорошо согласуются с известными данными [150], полученными методом конформных отображений.

Небольшое различие имеется только при При результаты табл. 1 практически совпадают с решением, найденным в работе [178] методом сингулярных интегральных уравнений.

Симметричное растяжение бесконечной плоскости с двумя круговыми отверстиями и двумя встречными краевыми трещинами. Пусть на контуры двух одинаковых круговых отверстий в бесконечной плоскости выходят навстречу друг другу две коллинеарные радиальные трещины одинаковой длины.

Таблица 1. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с отверстием и краевой трещиной

Таблица 2. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений при одноосном растяжении плоскости с двумя отверстиями и встречными краевыми трещинами

Отверстия и трещины свободны от нагрузки, а на бесконечности задано одноосное растяжение в направлении, перпендикулярном к линии трещин (рис. 10). При учете симметрии данная задача приводится также к решению системы (1.171), в которой следует заменить соответственно на и положить По формуле (1.173) проведены вычисления безразмерного коэффициента интенсивности (табл. 2). При задача решена методом конечного элемента [157]. Данные табл. 2 и работы [157] хорошо согласуются между собой.

Симметричное растяжение бесконечной плоскости с двумя круговыми отверстиями и двумя противоположно направленными краевыми трещинами. Пусть на контуры двух равных круговых отверстий с внешней стороны выходят две симметричные коллинеарные трещины. Отверстия и трещины свободны от нагрузки, а на бесконечности плоскость растягивается в направлении, перпендикулярном к линии трещин (рис. II). Рассматриваемая задача приводится к решению точно такой же системы линейных алгебраических уравнений, как и в предыдущем случае, однако при других значениях параметров Численные результаты для коэффициента интенсивности напряжений приведены в табл. 3.

Рис. 10.

Рис. 11.

Отметим, что полученное выше обобщение сингулярных интегральных уравнений двухмерных задач теории упругости на общий случай многосвязных областей с отверстиями и произвольными разрезами (изолированными, краевыми, соединяющими контуры отверстий между собой и (или) с внешней границей) могут послужить основой для разработки комплекса программ общих методов расчета пластин с трещинами. Проведенная численная реализация на модельных и новых задачах показала высокую эффективность предлагаемого метода решения.

Таблица 3. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений при одноосном растяжении плоскости с двумя отверстиями и противоположно направленными краевыми трещинами