2. Метод расчета статической траектории распространения трещины

Приведем алгоритм [95, 102] расчета статической траектории распространения трещины и определения коэффициентов интенсивности напряжений вдоль траекторий, когда вершины трещин находятся в одинаковых условиях. При этом достаточно описать продвижение одной из вершин трещины. В случае краевой или полубесконечной трещины их форма и приложенная к телу нагрузка могут бить произвольными.

Постановка задачи и алгоритм ее решения. Пусть в симметричной пластине имеется внутренняя гладкая трещина симметричной или антисимметричной формы. Центры трещины и пластины и их оси симметрии совпадают, а приложенная к телу нагрузка

такова, что оба конца трещины растут одинаково. Предположим, что трещина начинает расти в направлении, которое образует с проведенной в ее вершине касательной угол 8 (2.3), выражающийся через коэффициенты интенсивности напряжений для исходной трещины. При использовании условия (2.3) траекторию распространения трещины можно определить последовательно, предположив, что исходная трещина распространилась на некоторую величину вдоль прямой в направлении угла 6 (2.3). Вычислив затем для новой трещины коэффициенты интенсивности напряжений найдем новое значение угла 6. Повторяя описанную процедуру, получаем траекторию трещины, представляющую собой ломаную линию. Именно таким путем решают задачу методом конечных элементов [160, 165]. Однако при определении напряженного состояния в теле методом сингулярных интегральных уравнений описанный выше подход неэффективен, поскольку наличие точек излома сильно усложняет построение решения. Кроме того, из экспериментальных исследований распространения трещин (например, при циклическом нагружении) известно, что траектория представляет собой гладкую кривую. Точка излома может быть только в самом начале роста исходной трещины.

Для построения траектории распространения трещины воспользуемся сингулярными интегральными уравнениями решения плоских задач для произвольной области с гладкими криволинейными разрезами (1.80), аппроксимируя траекторию гладкой кривой. Поместим начало декартовой системы координат в центр трещины, а ось направим вдоль оси симметрии, если таковые имеются. Пусть при форма исходной трещины задается однозначной функцией

причем на отрицательные значения х функция (2.7) продолжается четным или нечетным образом соответственно для симметричной или антисимметричной трещины.

Решая задачу поэтапно, будем на каждом этапе аппроксимировать участок траектории кубической параболой. Пусть на шаге вершина трещины определяется координатами т. е. на первом этапе при имеем исходную трещину. Чтобы получить на интервале выпуклую (или вогнутую) траекторию, предположим, что трещина оканчивается в точке с абсциссой Тогда на участке траектория описывается уравнением

Пусть

— уравнение прямой, которая проходит через вершину в направлении начального угла распространения трещины, т. е.

где угол между касательной ,к трещине в вершине и осью коэффициенты интенсивности напряжений для трещины, оканчивающейся в точке с координатами

Рис. 13.

Из условия, согласно которому при кривая плавно продолжает кривую (уравнение трещины на [промежутке [считается известным), а в точке плавно смыкается с прямой (2.9), находим систему уравнений

или, поскольку (см. рис. 13) находим систему

из которой следует

где

а функция определяется из равенства (2.8) заменой на Параметр определим из условия, чтобы единственная точка

перегиба кривой (2.8) находилась в конце интервала из условия

Тогда кривая (2.8) на заданном участке будет выпуклой или вогнутой. Учитывая теперь равенства (2.12), из уравнения (2.14) находим

Будем считать параметр малой величиной по сравнению с длиной исходной трещины. Тогда можно записать приближенное равенство

с учетом которого из уравнения (2.15) при Ткфук найдем

При уравнение (2.15) с учетом равенства (2.16) превращается в тождество. Учитывая также, что

окончательно положим

При уравнение параболы (2.8) вырождается в уравнение прямой, т. е. при траектория совпадает с касательной, проведенной к трещине в ее вершине.

Следовательно, все параметры уравнения (2.8) определены (если известна форма трещины на предыдущем промежутке формулами (2.12), (2.13) и (2.17). Тогда уравнение трещины на участке можно записать следующим образом:

Уравнение всего разреза имеет вид

в симметричном

в антисимметричном случаях.

Таким образом, приходим к следующему алгоритму определения статической траектории распространения трещины. На первом этапе для исходной трещины вычисляем коэффициенты интенсивности напряжений и и находим угол Затем по формуле (2.18) определяем форму трещины для Повторяя

этот процесс, находим траекторию распространения трещины, а также коэффициенты интенсивности напряжений на каждом этапе ее продвижения. При таком определении траектория представляет собой гладкую линию, хотя в ее начале возможно наличие точки излома, разделяющей предстартовый и послестартовый участки трещины. Отметим, что коэффициенты интенсивности напряжений для ломаной трещины (см. третью главу), вычисленные при скруглении трещины в точке излома и без него, практически совпадают. Следовательно, траектория, полученная с учетом точки излома в начале развития трещины, будет близка к траектории, когда ее скругление имеет место и на первом шаге, как это было принято выше. При уменьшении шага можно найти такое что для получаются одинаковые траектории.

Предложенный алгоритм может быть использован также при определении траекторий распространения системы трещин (например, периодической), внутренних (при наличии симметрии) или краевых трещин в ограниченных областях. При этом на каждом этапе придется решать сингулярные интегральные уравнения для гладких криволинейных трещин в таких областях.