3. Модификация интегральных уравнений при наличии прямолинейного разреза

Приведем модифицированные потенциалы напряжений и сингулярные интегральные уравнения для плоскости с трещинами, среди которых хотя бы одна прямолинейная.

Интегральные представления комплексных потенциалов. Пусть в упругой изотропной плоскости, связанной с декартовой системой координат имеется изолированных криволинейных разрезов Отнесем контуры к локальным системам координат так, чтобы системы совпадали. Будем считать что для рассматриваемой области граничный контур является прямолинейным и занимает отрезок оси системы координат Берега трещин загружены самоуравновешенными усилиями

а напряжения на бесконечности отсутствуют.

Комплексные потенциалы напряжений для рассматриваемой задачи согласно формуле (1.66) представим в виде

где

Удовлетворяя с помощью выражений (3.54) граничное условие на контуре для определения искомой функции получим сингулярное уравнение

с правой частью

Согласно формуле (1.52) неограниченным на концах разреза решением этого уравнения является функция

где

Подставим решение (3.55) в формулы (3.54) и поменяем порядок интегрирования. Для потенциала будем иметь

Здесь использовано значение сингулярного интеграла

где под функцией комплексного переменного здесь и далее будем подразумевать ту ее ветвь, для которой на бесконечности справедливо разложение

Подставляя теперь во второе слагаемое выражения для значение функции получаем окончательное представление потенциала в виде

Здесь

Аналогично для потенциала получим выражение

где

Функциями (3.60) и (3.65) определяется напряженное состояние бесконечной пластины с прямолинейной трещиной, на берегах которой действует заданная самоуравновешенная нагрузка

Понижение порядка системы интегральных уравнений. При удовлетворении с помощью найденных комплексных потенциалов напряжений (3.59) и (3.63) граничных условий (3.53) на криволинейных трещинах можно получить систему модифицированных сингулярных интегральных уравнений задачи, когда граничное условие на прямолинейном разрезе выполняется тождественно. Эти же уравнения можно построить и при использовании известной системы интегральных уравнений [95]

для бесконечной пластины с криволинейными разрезами.

Предположим, как и выше, что для рассматриваемой области с разрезами граничный контур является прямолинейным и занимает отрезок оси локальной декартовой системы координат Запишем последнее уравнение системы (3.66) в виде

Так как (см. формулы

выражение (3.67) дает сингулярное интегральное уравнение

где

Уравнение (3.68) при условии

имеет в классе функций, не ограниченных на концах отрезка единственное решение (1.52):

Учитывая соотношение (3.69) и меняя в выражении (3.71) порядок интегрирования, представляем решение уравнения (3.68) в форме

Здесь

Введем обозначение

Тогда на основании формул (1.81), (3.74) возможны следующие представления для ядер и

Подставляя ядра (3.75) в первые два выражения соотношений (3.73), получаем

В этих формулах функция обозначает сингулярный интеграл

а функция его частную производную по

Величины и удобно иметь также в виде

Временно обозначим

и запишем в этих обозначениях первые сингулярные интегральные уравнения системы (3.66):

Подставляя функцию (3.72) в формулу (3.79) и меняя порядок интегрирования, находим

или окончательно

Здесь

Для того чтобы вычислить выражения (3.82), понадобятся следующие интегралы:

(см. скан)

где

Обозначим

и представим ядра в виде

Подставляя выражения (3.78) и (3.85) в соотношения используя обозначения (3.57) и (3.83), получаем формулы для определения

где

Таким образом, ядра и правая часть системы (3.80) определены полностью, ее структура в случае непересекающихся контуров такая же, как и исходной системы уравнений (3.66). Подобным образом может быть рассмотрена вторая основная задача теории упругости, а также смешанная задача, когда на одних контурах заданы напряжения, а на других смещения.