Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава четвертая. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ РАЗРЕЗОМКак известно (см. первую главу), основные граничные задачи плоской теории упругости для тел с разрезами сводятся к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. В некоторых частных случаях граничных контуров [70, 95] (круговая граница, бесконечная прямолинейная граница, система коллинеарных разрезов) возможно понижение порядка этой системы уравнений, что позволяет более эффективно находить ее численное решение. В данной главе (см. также работы [59, 60]) получены модифицированные таким образом сингулярные интегральные уравнения, когда в рассматриваемой области имеется прямолинейная конечная или полубесконечная трещина. (Случай конечной прямолинейной трещины рассмотрен в работах [58, 104].) Указанный подход, когда граничное условие на прямолинейной трещине выполняется тождественно, позволяет не только эффективнее находить численное решение задачи, но и сравнительно просто изучать действие сосредоточенных сил и разрывных нагрузок на берегах трещины, а также рассматривать краевые разрезы. Решение задач для областей с прямолинейной трещиной представляет особый интерес в механике разрушения (определение К-тарировочных зависимостей для опытных образцов с трещинами, развитие трещин около концентраторов напряжений). В данной главе предложен способ численного решения сингулярного интегрального уравнения симметричных задач для областей с краевым прямолинейным разрезом на оси симметрии, получающегося из уравнения для криволинейного разреза в бесконечной плоскости, который начинается и заканчивается в точках противоположных берегов прямолинейной трещины. Если криволинейный разрез пересекает прямолинейную трещину во внутренней точке, построенное таким образом интегральное уравнение одновременно определяет решение задачи для краевой трещины, находящейся во внутренней и внешней взаимодополняющихся областях. 1. Сингулярные интегральные уравнения задачиСистемы контурных сингулярных интегральных уравнений (1.80) и (1.87), к которым приводятся основные первая и вторая граничные задачи теории упругости для конечных и бесконечных областей с отверстиями и трещинами, имеют порядок, равный числу всех замкнутых и разомкнутых граничных контуров. Полагая, что в такой области имеется хотя бы один прямолинейный разрез и пользуясь изложенным в третьей главе приемом, понизим порядок системы (1.80) на единицу в общем случае несамоуравновешенных нагрузок, действующих на берегах разрезов. Пусть в конечной области Комплексные потенциалы (3.54) запишем в виде
где
причем под контуром
Здесь
потенциал Подставив функцию
где
потенциал
получен из формулы (3.120), в которой неизвестная функция
представим соотношение (4.7) в виде
Запишем равенство (4.2) следующим образом:
Подставляя вытекающие из формул (4.1) и (4.7) представления интегралов
в соотношение (4.12), получаем
Здесь
функции Имея представления комплексных потенциалов (4.11), (4.13) и пользуясь соотношениями (1.77) и (1.84), можно строить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, когда на контурах Пользуясь результатом (1.80) и подходом, изложенным в третьей главе, получаем модифицированные сингулярные интегральные уравнения первой основной задачи для многосвязной области с отверстиями и трещинами (см. рис. 5) при тождественном удовлетворении граничного условия на прямолинейной трещине. Пусть контур разреза
Решение этого уравнения при условии (3.70) относительно неизвестной
где
величины Подставив функцию (4.14) в первые
Здесь
функции Обозначая через
и учитывая первые две формулы выражений (3.81), записываем полученную систему модифицированных сингулярных интегральных уравнений в виде
Таким образом, для многосвязной области с отверстиями и трещинами при наличии хотя бы одного прямолинейного разреза система контурных сингулярных интегральных уравнений (1.80) допускает понижение порядка на единицу в общем случае несамоуравновешенных нагрузок, действующих на контурах трещин. При этом интегральные уравнения (4.17), когда на берегах разрезов заданы самоуравновешенные усилия
|
1 |
Оглавление
|