Глава четвертая. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМ РАЗРЕЗОМ

Как известно (см. первую главу), основные граничные задачи плоской теории упругости для тел с разрезами сводятся к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. В некоторых частных случаях граничных контуров [70, 95] (круговая граница, бесконечная прямолинейная граница, система коллинеарных разрезов) возможно понижение порядка этой системы уравнений, что позволяет более эффективно находить ее численное решение. В данной главе (см. также работы [59, 60]) получены модифицированные таким образом сингулярные интегральные уравнения, когда в рассматриваемой области имеется прямолинейная конечная или полубесконечная трещина. (Случай конечной прямолинейной трещины рассмотрен в работах [58, 104].) Указанный подход, когда граничное условие на прямолинейной трещине выполняется тождественно, позволяет не только эффективнее находить численное решение задачи, но и сравнительно просто изучать действие сосредоточенных сил и разрывных нагрузок на берегах трещины, а также рассматривать краевые разрезы. Решение задач для областей с прямолинейной трещиной представляет особый интерес в механике разрушения (определение К-тарировочных зависимостей для опытных образцов с трещинами, развитие трещин около концентраторов напряжений).

В данной главе предложен способ численного решения сингулярного интегрального уравнения симметричных задач для областей с краевым прямолинейным разрезом на оси симметрии, получающегося из уравнения для криволинейного разреза в бесконечной плоскости, который начинается и заканчивается в точках противоположных берегов прямолинейной трещины. Если криволинейный разрез пересекает прямолинейную трещину во внутренней точке, построенное таким образом интегральное уравнение одновременно определяет решение задачи для краевой трещины, находящейся во внутренней и внешней взаимодополняющихся областях.

1. Сингулярные интегральные уравнения задачи

Системы контурных сингулярных интегральных уравнений (1.80) и (1.87), к которым приводятся основные первая и вторая граничные задачи теории упругости для конечных и

бесконечных областей с отверстиями и трещинами, имеют порядок, равный числу всех замкнутых и разомкнутых граничных контуров. Полагая, что в такой области имеется хотя бы один прямолинейный разрез и пользуясь изложенным в третьей главе приемом, понизим порядок системы (1.80) на единицу в общем случае несамоуравновешенных нагрузок, действующих на берегах разрезов.

Пусть в конечной области ограниченной замкнутыми контурами имеется изолированных криволинейных разрезов Будем считать, что на границах отверстий и на берегах трещин заданы напряжения (1.77), удовлетворяющие условиям равновесия (1.78). Как и в предыдущей главе, считаем, что для рассматриваемой области граничный контур является прямолинейным и что он занимает отрезок — вещественной оси.

Комплексные потенциалы (3.54) запишем в виде

где

причем под контуром понимается объединение первых замкнутых и разомкнутых граничных контуров области искомая функция на всех контурах известная функция, причем при Удовлетворяя с помощью потенциалов (4.1) и (4.2) граничное условие на трещине получаем сингулярное интегральное уравнение для определения Решение которого при условии (3.70) может быть представлено в виде

Здесь

потенциал дается соотношением (4.3).

Подставив функцию в формулу (4.1), получим

где

потенциал

получен из формулы (3.120), в которой неизвестная функция заменена величиной Введя обозначение

представим соотношение (4.7) в виде

Запишем равенство (4.2) следующим образом:

Подставляя вытекающие из формул (4.1) и (4.7) представления интегралов

в соотношение (4.12), получаем

Здесь

функции находятся из соотношений (3.83).

Имея представления комплексных потенциалов (4.11), (4.13) и пользуясь соотношениями (1.77) и (1.84), можно строить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, когда на контурах заданы различные граничные условия, а на разрезе произвольная самоуравновешенная нагрузка.

Пользуясь результатом (1.80) и подходом, изложенным в третьей главе, получаем модифицированные сингулярные интегральные уравнения первой основной задачи для многосвязной области с отверстиями и трещинами (см. рис. 5) при тождественном удовлетворении граничного условия на прямолинейной трещине. Пусть контур разреза прямолинейный и занимает отрезок — оси абсцисс локальной системы координат (см. рис. 5). Представим уравнение системы (1.80) в виде

Решение этого уравнения при условии (3.70) относительно неизвестной можно записать следующим образом:

где

величины даются соотношениями (3.73).

Подставив функцию (4.14) в первые уравнения системы (1.80), запишем

Здесь

функции находятся из соотношений (3.85) -(3.88), а функции из соотношений (3.83). Остальные величины определены в первой главе.

Обозначая через сумму

и учитывая первые две формулы выражений (3.81), записываем полученную систему модифицированных сингулярных интегральных уравнений в виде

Таким образом, для многосвязной области с отверстиями и трещинами при наличии хотя бы одного прямолинейного разреза система контурных сингулярных интегральных уравнений (1.80) допускает понижение порядка на единицу в общем случае несамоуравновешенных нагрузок, действующих на контурах трещин. При этом интегральные уравнения (4.17), когда на берегах разрезов заданы самоуравновешенные усилия и модифицированные интегральные уравнения (3.80), построенные для системы разрезов в плоскости, по внешнему виду отличаются лишь слагаемыми, учитывающими наличие в области замкнутых граничных контуров. Следует отметить также, что ядра интегральных уравнений (4.17) выражаются через элементарные функции, однако имеют более громоздкий вид по сравнению с ядрами исходных уравнений (1.80). Интегралы в правой части системы (4.17) для рассматриваемых случаев нагрузок также выражаются через элементарные функции.