3. Интегральные уравнения в плоских задачах теории упругости для многосвязной области с отверстиями и трещинами

Получим интегральные представления комплексных потенциалов напряжений и сингулярные интегральные уравнения для произвольных многосвязных областей с отверстиями и трещинами.

Система криволинейных разрезов в бесконечной плоскости. Пусть в упругой изотропной плоскости имеется кусочно-гладких криволинейных разрезов на берегах которых заданы несамоуравновешенные усилия (первая основная задача)

или производные от смещений (вторая основная задача)

а напряжения и вращение на бесконечности отсутствуют. При этом для скачка смещений на концах разрезов имеют место равенства

для первой основной задачи будем считать также, что берега трещин не контактируют.

Запишем сначала решение вспомогательной задачи, когда на разрезах заданы скачки напряжений и производных от смещений,

Будем считать, что функции принадлежат классу Воспользовавшись соотношениями (1.9) и (1.10) и выразив левые части равенств (1.60) и (1.61) через комплексные потенциалы получим

где

Равенства (1.62) и (1.63) представляют собой задачи сопряжения для кусочно-голоморфных функций Их решение в случае кусочно-гладких контуров дается интегралом типа Коши [15] (см. также формулы (1.19) и (1.23)). В результате для потенциалов найдем выражения [93, 95]

которые дают решение вспомогательной задачи (1.60) и (1.61) для общего случая несамоуравновешенной нагрузки Эти решения можно также рассматривать, как интегральные представления комплексных потенциалов для бесконечной

плоскости, разрезанной вдоль контура с помощью которых могут быть рассмотрены различные граничные задачи.

Комплексные потенциалы и для граничных задач (1.57) и (1.58) ищем в виде (1.66), считая, что в первой основной задаче неизвестной является функция а во второй — Удовлетворив с помощью соотношений (1.20), (1.22), (1.26) и (1.27) граничное условие (1.57), для определения функции получим сингулярное интегральное уравнение [92, 95]

где ядра и даются соотношениями

Решение уравнения (1.67) должно удовлетворять условиям

которые обеспечивают однозначность смещений при обходе контуров (эти условия также следуют из равенств (1.59)).

Аналогично при удовлетворении граничного условия (1.58) найдем сингулярное интегральное уравнение второй основной задачи

Будем считать, как это принято при решении второй основной задачи для плоскости с вырезами [49], известными главные векторы усилий, приложенных к контурам с проекциями на оси Тогда искомая функция в уравнении (1.70) должна удовлетворять дополнительным условиям

Отметим, что интегральные уравнения (1.67) и (1.70) справедливы как для гладких, так и для кусочно-гладких контуров. При удовлетворении граничных условий (1.57) и (1.58) с помощью потенциалов (1.66) в угловых точках контуров использовались формулы (1.22), а также аналогичные формулы для предельных значений интегралов (1.24) и (1.27). В случае гладких контуров

сингулярные интегральные уравнения (1.67) и (1.70) принадлежат к типу уравнений, хорошо изученных в работах [15, 49]. В классе функций, не ограниченных вблизи концов уравнения (1.67) и (1.70) всегда разрешимы и их решения содержат произвольных постоянных. При выполнении условий (1.69) и (1.71) решение уравнений (1.67) и (1.70) единственно. При наличии на контуре угловых точек меняются свойства уравнений (1.67) и (1.70). В частности, регулярные для гладкого контура ядра получают стационарные особенности в случае кусочно-гладких контуров. Более подробно уравнение (1.67) для кусочно-гладкого контура будет рассмотрено в третьей главе.

Рис. 4

Уравнения (1.67) и (1.70) могут быть записаны в компактной форме

где и прямые значения потенциалов (1.66).

Из теории сингулярных интегральных уравнений [15, 49] следует, что функцию вблизи начала трещины и конца можно представить в виде

где функция, принадлежащая классу в окрестности конца При использовании результатов о поведении интеграла типа Коши вблизи концов линии интегрирования и аналогичных данных для интеграла (1.27) легко получить асимптотические разложения комплексных потенциалов напряжений вблизи вершин трещины [95]:

Здесь и комплексные потенциалы в локальной системе координат с началом в вершине трещины (рис. 4).

Действительные величины называются коэффициентами интенсивности напряжений у вершин трещины соответственно при симметричном и антисимметричном распределении напряжений относительно линии трещины. Они представляют собой функции нагрузки и параметров, характеризующих конфигурацию тела и

форму трещины, и определяются из решения задачи теории упругости. Величины с нижним знаком относятся к началу трещины а с верхним — к концу Они связаны с решением уравнения (1.67) соотношением

Из формул (1.4) — (1.6) и (1.74) следуют асимптотические представления напряжений и перемещений в окрестности вершины криволинейной трещины:

Здесь компоненты напряжений и перемещений в локальной системе координат с началом в вершине трещины (см. рис. 4).

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез разбивающий всю плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю Предположим, что при переходе через контур напряжения остаются непрерывными а вектор смещений получает скачок Тогда комплексные потенциалы определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция удовлетворяет уравнению (1.67) (при т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, 95] предложено видоизменить интегральные уравнения путем прибавления к их левой части некоторых функционалов. При этом

модифицированное уравнение имеет единственное решение при любой правой части, причем это решение при выполнении условия равновесия обеспечивает равенство нулю прибавленных функционалов и, следовательно, удовлетворяет первоначальному интегральному уравнению. Аналогично рассматривается [94, 95] и вторая основная задача для областей когда считается, что при переходе через замкнутый контур смещения остаются непрерывными а напряжения получают скачок Приведем модифицированные указанным образом сингулярные интегральные уравнения первой и второй основных задач в случае конечной многосвязной области, содержащей отверстия и разрезы. В отличие от предыдущего пункта при этом будем использовать кроме базисной системы координат также локальные координаты, связанные с контурами отверстий и трещин. Такой подход более удобен, в частности, при численном решении соответствующей системы интегральных уравнений.

Рис. 5.

Пусть область 5, занятая телом, ограничена одним или несколькими замкнутыми контурами где первые контуров расположены вне друг друга, а последний охватывает все остальные. Кроме того, в области 5 имеется криволинейных разрезов Предположим, что контуры являются кусочно-гладкими и не имеют общих точек. Каждый контур связан с локальной системой координат (система совпадает с ось Опхп которой образует с осью угол Точки определяются в системе комплексными координатами причем находятся внутри контуров (рис. 5).

Будем считать, что граница области 5 и берега трещин загружены усилиями

удовлетворяющими условия равновесия

Пользуясь интегральными представлениями комплексных потенциалов [94,95]

и удовлетворяя с их помощью граничные условия (1.77), получаем систему сингулярных интегральных уравнений [94, 95]

для определения неизвестных Здесь при дуговая абсцисса точки символ Кронекера;

компоненты вектора внешних усилий, действующих на контурах

Система (1.80) должна быть решена при дополнительных условиях

которые обеспечивают однозначность смещений при обходе контуров разрезов.

Пусть на замкнутых контурах и на берегах трещин в области (см. рис. 5) заданы производные от смещений

причем

Удовлетворяя с помощью потенциалов

граничные условия (1.84), приходим к системе сингулярных интегральных уравнений [94, 95]

для определения неизвестных функций Здесь

и проекции на оси главных векторов усилий, действующих на каждом контуре в отдельности. Эти величины считаются известными.

Система (1.87) имеет единственное решение при условиях

Аналогично может быть записана система интегральных уравнений для смешанной задачи, когда на одних контурах (замкнутых или разомкнутых) заданы напряжения, а на других — смещения.

Свойства решения задачи в симметричных случаях. Исследуем некоторые свойства решения сингулярного интегрального уравнения первой основной задачи для многосвязной рассмотренной выше, когда область и приложенная нагрузка удовлетворяют условиям симметрии. Предположим, что на замкнутых контурах действуют самоуравновешенные усилия и скачок напряжений на криволинейных разрезах равен нулю Представления комплексных потенциалов в системе координат имеют вид (1.66), где совокупность разрезов при Тогда систему интегральных уравнений (1.80)

можно записать таким образом:

Здесь ядра даются соотношениями (1.68), a функционалы и формулами (1.81).

Учитывая равенства (1.81), представляем систему (1.91) в виде

где

Предположим, что область и внешняя нагрузка симметричны относительно оси Тогда имеет место соотношение (рис. 6)

Отсюда и из уравнения (1.92) следует равенство

которое после замены переменной интегрирования преобразуется к виду

Учитывая, что

из уравнения, сопряженного к уравнению (1.92), находим

На основании равенств (1.96) и (1.98) получим

или в другой форме

Поскольку интегральное уравнение (1.92) имеет единственное решение (при дополнительных условиях (1.83)), то соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение. Поэтому из уравнения (1.100) следует, что

Если же область 5 и нагрузка симметричны относительно оси т. е. имеет место равенство

можно найти условие симметрии решения

Когда в теле имеется центр симметрии, относительно которого также симметрична внешняя нагрузка т. е.

то решение задачи удовлетворяет условию

При использовании условий симметрии (1.94), (1.101) — (1.105) интегральное уравнение (1.92) можно записать только на симметричной половине контура что позволит его численном решении понизить порядок соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

Рис. 6.