2. Интеграл типа Коши и элементы теории аналитических функций

Приведем результаты из теории аналитических функций, которые будут необходимы в дальнейшем изложении. Подробные сведения об аналитических функциях, интегралах типа Коши и сингулярных интегральных уравнениях можно найти, например, в монографиях [15, 48, 122].

Об интегралах типа Коши. Пусть гладкая кривая и функция точек этой кривой. Функция удовлетворяет на условию Гельдера (условию ), если для любых двух точек контура выполняется неравенство

Если функция заданная на разомкнутом контуре удовлетворяет условию на каждой закрытой части линии не содержащей концов, а вблизи любого конца с представима в виде

где на то говорят, что функция удовлетворяет условию на

Пусть обозначает замкнутый либо разомкнутый кусочно-гладкий контур и пусть -заданная на (за исключением, быть может, конечного числа точек), абсолютно интегрируемая функция. Тогда интеграл

представляет собой аналитическую функцию во всей плоскости комплексного переменного, кроме точек самого контура Этот интеграл принято называть интегралом типа Коши, функцию — его плотностью, выражение — ядром. Если в окрестности точки отличной от узлов (в том числе концов), функция удовлетворяет условию интеграл (1.19) имеет предельные значения и при соответственно слева (+) или справа (-) по отношению к выбранному положительному направлению на и эти предельные значения определяются формулами Сохоцкого-Племеля [15, 48]

Здесь интеграл в правых частях понимается в смысле главного значения по Коши, т. е.

где часть кривой попадающая в круг Интеграл (1.21) принято называть сингулярным или особым интегралом.

Если точка совпадает с угловой точкой контура предельные значения интеграла (1.19) находятся по формулам [15]

где а — угол между правым и левым касательными векторами к в угловой точке Из формул (1.20) и (1.22) следует равенство

справедливое как для угловой точки, так и для точки гладкости контура.

Рассмотрим интеграл

где а контур кривая Ляпунова, т. е. угол составленный положительной касательной к контуру в точке с осью удовлетворяет условию Учитывая соотношение

для предельных значений интеграла (1.24) получаем выражение

Предельные значения интеграла

где замкнутый или разомкнутый контур типа Ляпунова, а находятся по формулам [95]

Поведение некоторых комплексных интегралов вблизи концов линии интегрирования [98, 99, 101]. Пусть гладкий разомкнутый контур, положительное направление на котором ведет от а к Рассмотрим интеграл

где функция принадлежит классу в окрестностях концов Тогда ее можно представить в виде

где комплексные постоянные; на причем и предельные значения на контуре функций

— действительные величины углы, показанные на рис. 3.

Из равенств (1.31) следуют соотношения между предельными значениями функций на контуре

Учитывая, что функции голоморфны во всей плоскости, за исключением контура при с помощью интегральной формулы Коши и равенств (1.32) находим

Рис. 3.

Соответствующие сингулярные интегралы легко найти, воспользовавшись формулой (1.20):

Отметим, что формулы (1.33) и (1.34) справедливы также в случае комплексных параметров [122].

Интеграл (1.29) теперь можно представить в виде

Поскольку функция равна нулю в концах интервала интегрирования, то интеграл (1.36) ограничен. Тогда особенности интеграла типа Коши (1.35) совпадают с особенностями функций Поведение интеграла типа Коши вблизи концов линии интегрирования в работах [15, 48, 122] исследовано несколько другим путем. Предлагаемый здесь подход позволяет

представить интеграл (1.29) в виде суммы элементарных функций, содержащих все особенности, и ограниченного интеграла (1.36). Тем самым появляется возможность эффективно вычислять интегралы типа Коши и соответствующие сингулярные интегралы, когда их плотности имеют особенности степенного характера, что особенно важно при численном решении сингулярных интегральных уравнений.

Для значения интеграла (1.29) на контуре будем иметь представление

где прямое значение интеграла (1.36). Воспользовавшись тождествами

где углы и показаны на рис. 3, запишем следующие представления интегралов:

Здесь функция имеет вид (1.30); интеграл

ограничен вблизи концов линии интегрирования, поскольку функции равны нулю при прямое значение интеграла (1.40). Учитывая, что

получаем представление сингулярного интеграла

где интеграл в правой части ограничен, поскольку его плотность (выражение в квадратных скобках) равна нулю на концах интервала при

Имеют место тождества

где

При использовании равенств (1.43) легко получить представление интеграла

Постоянная В находится из соотношения

при использовании значений интегралов

Отметим, что интеграл в правой части равенства (1.45) является ограниченным при любых значениях Представления (1.42) и (1.45) верны также в случае комплексных параметров

Формулы обращения интеграла типа Коши. Пусть обозначает совокупность конечного числа замкнутых гладких контуров без общих точек и пусть положительное направление выбрано так, что при движении вдоль область 5 остается слева (см. рис. 2).

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение

где - заданная на функция класса искомая функция того же класса. Единственное решение этого уравнения имеет вид [15, 48]

Пусть в уравнении (1.48) контур состоит из совокупности гладких разомкнутых непересекающихся дуг концы которых и пусть принадлежит классу а искомая функция — классу Тогда уравнение (1.48) имеет решения различных классов (ограниченные или не ограниченные вблизи концов В частности, решение этого уравнения, не ограниченное на всех концах контуров дается формулой [15, 48]

где произвольный полином степени не выше — предельное значение канонической функции

при приближении к контуру слева или справа.

Запишем решение (1.50) для случая, когда контур представляет собой отрезок действительной оси

Постоянная С определяется из дополнительного условия, налагаемого на решение Обычно известно значение интеграла от по Тогда из решения (1.52) находим

Постоянную С можно выбрать и таким образом, чтобы решение было ограничено на одном из концов отрезка Так, решение, ограниченное в точке и не ограниченное при имеет вид

При дополнительном условии

уравнение (1.48) имеет решение

которое ограничено на обоих концах отрезка