4. Два одинаковых криволинейных отверстия, соединенных прямолинейным разрезом

В работе [72] с привлечением сингулярных интегральных уравнений (1.80) решена задача о концентрации напряжений около двух круговых отверстий одинакового радиуса в плоскости, соединенных узкой щелью. При этом полагалось, что щель имеет ширину таким образом, рассматривалась задача теории упругости для бесконечной пластины, ослабленной криволинейным отверстием с негладкой границей. В предельном случае (при численное решение этой задачи не могло быть получено. Поэтому оно находилось путем экстраполяции. Аналогичный результат получен также в работе [31] на основе сингулярных интегральных уравнений второго рода методом последовательных приближений.

Ниже, пользуясь подходом, изложенным в настоящей главе, рассмотрим задачу о концентрации напряжений около двух одинаковых криволинейных отверстий, соединенных прямолинейным, разрезом. Задача решается в точной постановке без использования экстраполяции.

Пусть в бесконечной плоскости имеются два одинаковых симметричных относительно оси криволинейных отверстия, соединенных прямолинейным разрезом. Плоскость находится на бесконечности под действием растяжения усилиями (рис. 41).

Отнесем контуры к локальным декартовым координатам причем оси образуют с осью Ох базисной

системы углы Точкам соответствуют комплексные координаты диаметр отверстия, отсчитываемый вдоль его оси симметрии).

Рассуждая так же, как в начале настоящей главы, приходим к следующей системе сингулярных интегральных уравнений:

где

Определение остальных величин дано в третьей главе. В силу условия симметрии задачи относительно оси имеем соотношение

с учетом которого система (4.67) превращается в одно сингулярное интегральное уравнение типа (4.44):

где

Численное решение соответствующего сингулярного интегрального уравнения в безразмерных координатах при дополнительном условии

получим аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе.

Расчеты проведены для эллиптических отверстий при различных значениях параметров большая и малая полуоси эллиптического отверстия; — длина разреза, соединяющего отверстия). Уравнение границы отверстия принималось в виде (4.56).

В табл. 16 (над чертой) приведены численные значения коэффициента концентрации в точке А на оси симметрии (рис. 41) эллиптического отверстия, когда плоскость на бесконечности находится под действием одноосного (перпендикулярно к трещине) растяжения усилиями

Анализ полученных по формуле (4.66) результатов показывает, что в случае круговых отверстий при увеличении параметра т. е. при увеличении относительного радиуса отверстия, численные значения коэффициента концентрации напряжений стремятся к решению задачи о двух соприкасающихся круговых отверстиях в бесконечной плоскости [76]. Однако это стремление очень медленное. Для того чтобы получить значение коэффициента концентрации соответствующее случаю соприкасающихся отверстий, необходимо в вычислениях принять Следовательно, наличие прямолинейного разреза, соединяющего круговые отверстия, практически не влияет на величину когда диаметр отверстий в 20 раз больше длины этого разреза.

В табл. 16 приведены также данные для эквивалентного эллипса [76] (под чертой), т. е. эллипса (см. рис. 41), описанного вокруг границы рассматриваемой области с полуосями и радиусом кривизны в точке А, равном радиусу кривизны в той же точке эллиптического отверстия Эти значения получены по формуле

Сопоставление данных для свидетельствует, что применение формулы (4.70) при расчете концентрации напряжений можно считать оправданным, если параметр 80,5. В этом случае различие между значениями не превышает

Отметим, что полученное здесь при численное решение для двух круговых отверстий хорошо согласуется с данными работ [31, 72].