5. Решение интегральных уравнений для полубесконечной трещины с ответвлением

Найденные в параграфе 3 данной главе результаты переносятся на случай криволинейных разрезов в плоскости, содержащей прямолинейную полубесконечную трещину.

Комплексные потенциалы напряжений. Пусть в неограниченной плоскости имеется криволинейных разрезов причем контур представляет собой отрезок оси декартовой системы координат Предположим, что на берегах трещин действуют самоуравновешенные усилия (3.53). Поставленную задачу решают потенциалы и (3.63)), не содержащие неизвестной плотности на прямолинейном разрезе

Для получения аналогичных потенциалов напряжений в случае полубесконечного разреза в выражениях (3.59) и (3.63) сделаем замену переменных вида

(т. е. перенесем начало системы координат в левый конец трещины и перейдем к пределу при . Проиллюстрируем этот граничный переход на входящих в формулы (3.59) и (3.63) потенциалах Для удобства запишем их в базисной системе координат

где функции даются соотношениями (3.62), а под контуром интегрирования понимается объединение контуров — производная от скачка вектора смещений при переходе через контур

Сделаем в выражениях (3.120) и (3.121) замену переменных (3.119), воспользовавшись соотношениями

являющимися формулами перехода от потенциалов напряжений в старой системе координат к таким же потенциалам в новой системе где комплексная координата центра относительно системы координат В результате получим

Рассмотрим предел

где

Дифференцируя выражение (3.125) по и, получаем

Пользуясь формулами (3.125) и (3.126), находим также

Тогда пределы при для выражений (3.122) и (3.123) можно записать в виде

где

Окончательный результат представим в виде

Здесь потенциалы

определяют напряженное состояние разрезанной плоскости по полубесконечному лучу на берегах которого действует самоуравновешенная нагрузка а функции даются соотношениями (1.66) при

Таким образом, для бесконечной плоскости, содержащей прямолинейный полубесконечный и другие криволинейные разрезы, функции (3.130) являются интегральными представлениями комплексных потенциалов напряжений обеспечивающих тождественное удовлетворение граничного условия на полубесконечном разрезе.

Интегральные уравнения задачи. Согласно формулам (3.119) перейдем в системе сингулярных интегральных уравнений (3.80) к новым переменным. Устремляя затем I к бесконечности, получаем систему интегральных уравнений типа (3.80) с ядрами и правой частью (3.81), где вместо слагаемых следует положить соответственно

В формулах (3.131) — (3.133) приняты обозначения следующих пределов:

(см. скан)

Исключенная на полубесконечном разрезе неизвестная функция имеет вид

где

Выражение для коэффициентов интенсивности напряжений в окрестности вершины полубесконечного разреза аналогично

найдем предельным переходом в соответствующей формуле для определения коэффициентов интенсивности напряжений у вершины конечного прямолинейного разреза. В данном случае будем иметь

В качестве примера рассмотрим бесконечную плоскость с ломаной трещиной, образуемой полубесконечным и конечным прямолинейными разрезами. Разрез длины выходит из вершины разреза под углом Плоскость растягивается двумя сосредоточенными силами приложенными в точках и действующими перпендикулярно к лучу (рис. 34). Берега разрезов свободны от напряжений.

Как и в случае ломаной трещины (см. параграф 4 данной главы), приходим к одному сингулярному интегральному уравнению (3.106)

где

В ядра (3.146) входят величины их легко получить из формул (3.111) и (3.112) предельным переходом

Слагаемое входящее в формулу (3.147), имеет вид

Здесь

функции даются соотношениями (3.134) — (3.137).

Найдем численное решение уравнения (3.145), когда точки приложения растягивающих сосредоточенных сил и 22 находятся соответственно на верхнем и нижнем берегах исключенного разреза

Рис. 34.

Рис. 35.

Учитывая, что в данном случае напряженно-деформированное состояние тела не зависит от упругой постоянной к [49], можем положить ее равной нулю. Тогда правая часть уравнения (3.145) упрощается и может быть найдена из соотношения

Результаты расчета безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений зависящих от угла наклона боковой

трещины при различных значениях параметра приведены на рис. 35 (сплошные линии соответствуют а штриховые — Из приведенных численных данных отчетливо видно, что, во-первых, зависимости являются монотонно убывающими функциями угла а практически для всех рассмотренных отношений (исключение составляет функция относящаяся к значению для которой минимум находится на промежутке Во-вторых, с удалением точек приложения растягивающих сил от угловой точки коэффициенты интенсивности напряжений стремятся (хотя и не очень быстро) к нулевому значению. При этом существует зависящий от относительного расстояния диапазон изменения угла а, где уменьшающийся с ростом

Таблица 8. (см. скан) Сходимость численных значений коэффициентов интенсивности напряжений для полубесконечной трещины с ответвлением

Необходимо отметить также, что сходимость численных решений к точному при приближении к угловой точке растягивающих сил ухудшается. Табл. 8 иллюстрирует сходимость численных значений при в зависимости от количества узлов квадратурной формулы. Анализ приведенных в таблице данных позволяет заключить, что с точностью до трех знаков после запятой во всем рассмотренном диапазоне изменения угла а устойчивыми можно считать результаты, полученные при