Глава пятая. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ОБРАЗЦАХ ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ МАТЕРИАЛОВ

Решения задач об упругом равновесии конечных тел с трещинами часто используются при разработке опытных образцов для экспериментального исследования трещиностойкости материалов при действии статических и циклических нагрузок. Одним из самых простых для расчета является образец в виде кругового диска с центральной прямолинейной трещиной при действии растягивающих или сжимающих сосредоточенных сил [39, 128]. При таких же нагружениях находит применение квадратный образец с центральной продольной или диагональной трещиной [50].

Развитие экспериментальных исследований распространения трещин привело к необходимости более точного учета реальной схемы нагружения образцов сосредоточенными силами. Нашли применение две расчетные схемы: сосредоточенная сила или распределенная по некоторому закону нагрузка действует на границе кругового отверстия или же сила приложена к круговому жесткому включению. Разработке кругового и квадратного образцов с центральной трещиной, а также дискового образца с краевым вырезом и выходящей на его контур трещиной при указанных схемах нагружения посвящены работы [27, 53, 57, 58, 113, 131]. На основе найденных численных решений разработаны опытные образцы для экспериментального определения характеристик трещиностойкости сверхтвердых материалов, твердых сплавов, инструментальных и конструкционных керамических материалов [43] (квадратный образец с диагональной трещиной для испытаний на диагональное сжатие), а также листовых материалов [89] (дисковый и квадратный образцы с центральной трещиной для испытаний на осевое растяжение).

В данной главе синтезированы указанные результаты по разработке опытных образцов с трещинами с помощью сингулярных интегральных уравнений.

1. Квадратный образец с центральной трещиной на сжатие

Для определения вязкости разрушения (трещиностойкости) хрупких материалов нашли применение круглые образцы с центральной сквозной трещиной, сжимаемые сосредоточенными силами вдоль линии трещины [42, 124, 128]. Для этих же целей

можно применять и квадратные образцы. В частности, для определения трещиностойкости сверхтвердых материалов, твердых сплавов, инструментальных и конструкционных керамических материалов используются сжимаемые квадратные образцы с центральной трещиной [43].

Рис. 47.

Рис. 48.

Ниже определяются коэффициенты интенсивности напряжений в таких образцах в случае расположения трещины вдоль параллельной их стороне оси (рис. 47) или диагонали (рис. 48).

Рассмотрим квадратную пластину единичной толщины со стороной 2а, в которой имеется центральная трещина длины 21 (см. рис. 47, 48). Отнесем контуры внешняя граница пластины; разомкнутый контур разреза) к локальным декартовым системам координат причем система совпадает с основной декартовой системой Оси образуют с осью углы Считаем, что берега трещины свободны от нагрузки, а к внешней границе пластины приложены сжимающие сосредоточенные силы или распределенные на отрезке усилия равнодействующая которых равна Граничные условия задачи имеют вид

Пользуясь результатом приходим к системе двух сингулярных интегральых уравнений по замкнутому и разомкнутому контурам, которая должна быть решена при условии

обеспечивающем однозначность смещений при обходе контура Заменой переменных параметрическое уравнение контура сведем указанную систему и условие (5.1) к виду

где

При этом для образца на продольное сжатие (см. рис. 47) производную в угловой точке достаточно определить равенством (4.41), полагая в нем Функцию получим из формулы (4.40) при

В образце на диагональное сжатие (см. рис. 48) необходимо скруглить углы, поскольку в них действуют сосредоточенные силы. Поэтому параметрическое уравнение границы в первом квадранте запишем в форме

радиус вписанной в прямой угол окружности). Уравнение всего контура находится из условий симметрии.

Пусть квадратный образец сжимается сосредоточенными силами рис. 47, 48), приложенными в точках границы так, что линия действия сил совпадает с линией трещины, т. е.

где — дельта-функция Дирака, или соответственно для образца с продольной или диагональной трещиной. Для того чтобы применение метода механических квадратур стало возможным, необходимо систему (5.2) свести к уравнениям, в которых правые части были бы гладкими функциями. С этой целью воспользуемся решением первой основной задачи теории упругости для сплошного кругового диска радиуса сжимаемого в точках сосредоточенными силами Эта задача приводится к сингулярному интегральному уравнению

решением которого есть функция (см., например, работу [95])

Представим искомую функцию и ядра суммой

где слагаемые даются соотношениями (5.8) и (5.9). С помощью этих представлений преобразуем уравнения (5.2) к виду

Правая часть системы (5.10) содержит только гладкие функции.

Предположим теперь, что пластина сжимается по двум ее сторонам, перпендикулярным к трещине, распределенной нагрузкой (см. рис. 47)

с равнодействующей т. е.

Из уравнения (5.12) получим

и, следовательно, правая часть первого уравнения системы (5.2) в интервале имеет вид (см. рис. 47)

где

Применим к интегральным уравнениям (5.2), (5.10) и условию (5.3) квадратурные формулы для интегралов по замкнутому и разомкнутому контурам (см. формулы (1.116), (1.123) и

где произвольные натуральные числа,

В результате получим алгебраическую систему уравнений для определения неизвестных величин Поскольку напряженно-деформированное состояние рассматриваемого тела симметрично относительно осей системы координат (см. рис. 47, 48), то искомая функция вещественна) следовательно, коэффициенты интенсивности напряжений у вершин трещины определяются по формуле

Учет в формулах (5.15) симметрии задачи согласно условиям (1.105)

приводит к соотношениям

из которых следует (см. последнюю формулу при что равенство (5.3) при условии (5.18) выполняется тождественно.

Применение квадратурных формул (5.19) позволяет сократить вдвое число искомых величин При этом для нахождения безразмерного коэффициента интенсивности напряжений получим равенство

На рис. 49 представлены зависимости относительных коэффициентов интенсивности напряжений от длины трещины для квадратных (I и III) и дискового образцов. Кривые 1— 3 — даны по схеме (квадратный образец на продольное сжатие; кривая 4 — по схеме III (квадратный образец на диагональное сжатие), кривая 5 — по схеме II (дисковый образец на диаметральное сжатие). Кружочками показана зависимость от для образца по схеме III.

Аппроксимация полученных результатов методом наименьших квадратов дает следующие формулы:

Рис. 49.

для образца с продольной трещиной и

для образца с диагональной трещиной. В последнем случае для значений функция практически не зависит от В частности, результаты, полученные при практически совпали с данными при Относительная погрешность приведенных формул не превышает при 0,30,6.

Табл. 22 иллюстрирует зависимость сходимости численных решений для квадратного образца на продольное сжатие сосредоточенными силами от количества точек разбиения внешней границы образца. Число узлов квадратурной формулы для интегралов по разомкнутому контуру разреза принималось в расчетах равным 15, что вполне обеспечивало требуемую точность при удовлетворении граничного условия на трещине. Из таблицы следует, что стабилизация численного решения наступает уже при практически для всех X указанного диапазона.

Таблица 22. (см. скан) Сходимость численных значений коэффициентов интенсивности напряжений для квадратной пластины с трещиной на продольное сжатие

При равенство (5.5) превращается в уравнение дуги окружности, находящейся в первом квадранте. Тогда приходим к задаче о сжатии сосредоточенными силами круглого диска радиуса а. Эта же задача решена аналитически, причем для определения коэффициента интенсивности напряжений найдено соотношение [52]

Сравнение функций (табл. 23) показывает их практически полное совпадение в широком диапазоне изменения длины трещины: их относительная разница при имеет порядок и только при достигает

В пластине с продольной трещиной заданной длины коэффициент интенсивности напряжений наибольший в случае приложения сосредоточенной силы и падает с возрастающей интенсивностью при увеличении участка, на котором распределена нагрузка

(см. рис. 49). При этом во избежание локального разрушения в зонах контакта образца с пуансоном и опорой (форма пуансона выбирается таким образом, чтобы его действие можно было моделировать распределенной нагрузкой) длина этого участка обычно не превышает длины стороны Исходя из аналогичных соображений срезают ребра образцов с диагональной трещиной, создавая площадки (см. рис. 48, штриховая линия), которые служат одновременно для установки образца в прессе. В расчетной схеме такие площадки моделируются закруглениями, причем радиусу закругления соответствует площадка шириной что при принятом для расчета значении дает

Таблица 23. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений при осевом сжатии кругового диска с центральной трещиной, полученные аналитическим и численным подходами

При условии одинаковой относительной длины трещины где размер образца вдоль линии трещины для дискового и квадратного на продольное сжатие образцов; для образца на диагональное сжатие), полученные выше значения соответствующих функций различаются мало. Сравнение дискового и квадратного с продольной трещиной образцов показывает, что это различие составляет (см. 49, кривые 7, 2, 5) при Значения функции для образца с диагональной трещиной вплотную (см. рис. 49, кружки) приближаются к значениям для дискового образца. При этом в образце на диагональное сжатие существует определенный диапазон изменения радиуса закругления углов пластины в котором функция практически от него не зависит. Следовательно, использование этого образца в экспериментальной практике представляется более предпочтительным. Кроме того, указанный образец имеет преимущество и с точки зрения затрат материала на его изготовление.