4. Численное решение интегральных уравнений методом механических квадратур

В последнее время наибольшее распространение получили прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений, которые, минуя регуляризацию, приводят к решению систем

линейных алгебраических уравнений. Среди них следует отметить метод механических квадратур, основанный на определенных формулах для интерполяционного полинома и квадратурных формулах для сингулярных и регулярных интегралов [3, 14, 25, 28, 36, 70, 71, 88, 95, 138, 141, 142 153].

Квадратурные формулы для вычисления сингулярных интегралов. Приведем некоторые квадратурные формулы интерполяционного типа для вычисления интегралов

где плотность непрерывная -периодическая функция;

Пусть означает тригонометрический полином порядка интерполирующий непрерывную -периодическую функцию узлах,

где произвольная постоянная; означает целую часть числа. случае четного числа узлов полином имеет вид [13,14]

а при нечетном его можно представить в форме [25]

Формулы (1.110) и (1.111) точны для любого тригонометрического полинома степени не выше соответственно.

Подставив выражения (1.110) и (1.111) в соотношение (1.106) и вычислив интегралы, придем к квадратурным формулам [14, 36, 71]

для сингулярного интеграла (1.106) в случаях четного и нечетного числа узлов.

Формулу (1.112) можно представить также в виде [71, 139]

Выбрав в качестве внешних узлов

из соотношения (1.114) получим формулу

аналогичную известному правилу для вычисления регулярных интегралов от периодических функций

точному для многочленов степени

Интерполяционный полином Лагранжа по чебышевским узлам

для плотности интеграла (1.107) имеет вид [28,51]

где полином Чебышева первого рода; Формула (1.119) точна всегда, когда полином порядка не выше

Подставив представление (1.119) в соотношение (1.107) и вычислив интегралы, придем к квадратурной формуле для интеграла [71]

которую можно также записать в виде

Здесь полином Чебышева второго рода; . Формула (1.121) получена без привлечения интерполяционного полинома в работе [138], где также показано, что она точна, если плотность интеграла (1.107) представима полиномом степени не выше

Взяв в соотношении (1.121) в качестве внешних узлов систему нулей полинома

получим формулу [36]

аналогичную обычной квадратурной формуле Гаусса для регулярных интегралов [51]

которая точна для полинома степени не выше Интерполяционный полином по узлам

для плотности интеграла (1.108) имеет вид [28]

Эта формула точна всегда, когда -полином порядка не выше

Подставив представление (1.126) в соотношение (1.108) и воспользовавшись значением интеграла

получим квадратурную формулу

для интеграла (1.108).

Выбрав в соотношении (1.128) в качестве внешних узлов систему нулей полинома т. е.

придем к формуле [36]

аналогичной обычной квадратурной формуле Гаусса для регулярного интеграла [51]

Последнее соотношение имеет ту же точность, что и формула

Метод механических квадратур. Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение

где сингулярное (с ядром Коши) и регулярное ядра; замкнутый или разомкнутый гладкий контур.

К уравнению вида (1.132) или к системам таких уравнений приводятся плоские задачи теории упругости для тел с внутренними гладкими криволинейными разрезами.

Остановимся сначала на случае разомкнутого контура когда решение уравнения (1.132) должно удовлетворять условию

Пусть параметрическое уравнение контура дается соотношением

Тогда уравнение (1.132) и условие (1.133) приводятся к виду

где

сингулярное (с ядром Коши) и регулярное ядра; Искомую функцию можно представить в виде

Применяя квадратурные формулы (1.123) и (1.124) к равенствам (1.135) и (1.136), получаем систему линейных алгебраических уравнений

для определения неизвестных

Воспользовавшись интерполяционным полиномом (1.119) для искомой функции найдем ее значения в точках

Если на берегах разреза заданы усилия (тогда постоянная С равна нулю), по формулам (1.75), (1.137), (1.138) найдем коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещины [95]:

Формулы (1.140) точны всегда, когда функция представляет собой полином степени, не превышающей (см. соотношение (1.119)). Поскольку система (1.139) получена с использованием квадратурных формул (1.123) и (1.124), точных для полиномов степени то при аппроксимации (1.140) точность определения коэффициентов интенсивности напряжений заметно падает. Этого можно избежать, если определять функцию непосредственно из интегрального уравнения (1.135) [151]. Исходя из соотношений (1.135), (1.121) и (1.124), получаем выражение

называемое естественным интерполяционным полиномом.

В случае разомкнутого контура решение уравнения можно представить в виде

где комплексные постоянные; предельные значения на контуре функций

однозначные ветви которых фиксируются условиями и 1 при функция причем

После замены переменной (1.134) уравнение (1.132) и условие (1.133) преобразуются к виду [98, 99]

Здесь

известные функции; ядра и функция определяются по формулам (1.137); искомая функция представима в форме

Применив к соотношениям (1.145) и (1.146) квадратурные формулы (1.130) и (1.131), придем к системе линейных алгебраических уравнений [98, 99]

для определения неизвестных

Отметим, что решение интегрального уравнения (1.145) в классе функций (1.148) существует при дополнительном условии [48]

где регулярная функция,

Суммируя первые уравнений системы (1.149), получаем равенство, которое точно соответствует условию (1.150), записанному с помощью квадратурной формулы (1.124). Следовательно, система уравнений (1.149) обеспечивает удовлетворение дополнительного условия (1.150).

В случае трещины при заданных на ее берегах усилиях коэффициенты интенсивности напряжений выражаются через постоянные по формулам

где углы, показанные на рис. 3.

Изложенная выше схема численного решения сингулярного интегрального уравнения (1.132) может быть использована также при решении интегральных уравнений с обобщенным ядром Коши, когда порядок степенной особенности искомой функции в концах контура отличается от 1/2. В этом случае функции учитывающие поведение в указанных точках, выбираются таким образом, чтобы можно было точно найти значения сингулярных интегралов с обобщенным ядром Коши и плотностями Такой подход будет применен в третьей главе при решении интегральных уравнений вида (1.132) в случае кусочно-гладкого контура

Рассмотрим интегральное уравнение (1.132) в случае гладкого замкнутого контура параметрическое уравнение которого дается соотношением

Тогда уравнение (1.132) приводится к виду

где — сингулярное (с ядром Гильберта) и регулярное ядра, искомая функция и правая часть периодические функции класса

Применив к уравнению (1.154) квадратурные формулы (1.116) и (1.117), получим систему линейных алгебраических уравнений

для определения неизвестных Значение функции в произвольной точке из интервала можно найти с помощью формулы (1.110) или при использовании естественного интерполяционного полинома, следующего непосредственно из интегрального уравнения (1.154) при использовании соотношения (1.114) [71]:

Отметим, что при построении системы линейных алгебраических уравнений (1.155) предполагалось, что интегральное уравнение (1.154) имеет решение при любой правой части и это решение единственно. Такое требование является необходимым условием сходимости численного решения.