2. Круговое кольцо с радиальными трещинами

Получим численные решения задач об упругом равновесии кругового кольца с трещинами.

Внутренняя радиальная трещина. Пусть в круговом кольце ограниченном контурами имеется одна прямолинейная внутренняя радиальная трещина вдоль оси длину разреза обозначим через а расстояние от центра трещины до края внутреннего контура через (рис. 72). Будем считать, что на берегах разреза

Учитывая, что в исследуемом случае

из системы (7.9) получаем два сингулярных интегральных уравнения по замкнутому внешнему контуру и по разомкнутому контуру трещины

(см. скан)

Численное решение системы (7.19), (7.20) будем искать методом механических квадратур. Применив к ней квадратурные формулы (1.123), (1.124), (1.116), (1.117), получим систему комплексных линейных алгебраических уравнений

для определения неизвестных значений функций . В системе (7.22)

Две симметричные внутренние радиальные трещины. Пусть рассматриваемая область и нагрузка симметричны относительно оси тогда случай двух симметричных внутренних трещин (рис. 73) вдоль отрезков и оси можно свести также к двум сингулярным интегральным уравнениям такой же структуры, как и для одной трещины. Обозначим совокупность контуров через и запишем систему (7.15) в виде

Условия однозначности смещений при обходе каждого из контуров запишутся в форме

Из очевидного равенства

эледует условие симметрии

Представив интеграл по в виде суммы интегралов по и обозначив

получим, воспользовавшись условием (7.27),

Аналогично получаем

В силу условия симметрии (7.27) из двух равенств (7.25) получаем одно условие однозначности смещений

которому должно удовлетворять решение системы.

Таким образом, путем незначительного усложнения ядер в интегралах по контуру разреза можно одним подходом рассматривать одну и две трещины в конечной пластине, что позволяет существенно экономить машинное время при численной реализации задачи на ЭВМ.

Краевые радиальные трещины. Изложенный в предыдущем параграфе метод решения задачи теории упругости для кольцевых областей с трещинами применйм и для кругового кольца, рассмотренного в шестой главе другим подходом.

Рис. 73.

Рис. 74.

Отметим, что в данном случае не требуется знания решения вспомогательной задачи для сплошного кольца и ядра сингулярных интегральных уравнений даются в замкнутой форме. Однако здесь добавляется еще одно интегральное уравнение по замкнутому контуру. Ниже на конкретных примерах проиллюстрируем эффективность предложенного подхода в вычислительном плане.

Пусть концентрические окружности радиусов соответственно, т. е. область является круговым кольцом, ослабленным одной или двумя краевыми радиальными трещинами длины I вдоль оси выходящими на край контура (рис. 74).

Интегральные уравнения первой основной задачи для такой области получим из системы (7.15) предельным переходом, когда вершина разреза выходит на край отверстия. Это можно сделать благодаря наличию в комплексных потенциалах слагаемых (7.6). Поскольку в случае краевых разрезов условия однозначности смещений (1.83) не выполняются ввиду изменения связности области, то последнее уравнение системы (7.22) подлежит замене. Как и для случая внутренних трещин, будем искать функцию в классе функций, имеющих корневую особенность. Недостающее для замкнутости системы (7.22) уравнение получим из условия ограниченности решения в точке выхода трещины на край, что дает

В рассматриваемом случае

Точку для конкретности выберем посредине контура трещины, т. е.

Рассмотрим различные нагружения кольца, симметричные относительно оси [106]. Пусть на внешней границе кольца действуют растягивающие нормальные усилия а контуры радиальных трещин и внутренний край свободны от нагрузок, т. е.

Зависимость значения безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений от параметра вычислена при (табл. 28). В табл. 28 для сравнения приведены литературные данные [133, 136, 148, 163, 164]. Численное решение получено при количестве узлов на полуокружности и на трещине дальнейшее увеличение числа уравнений практически не влияло на результаты при При для нахождения устойчивого решения необходимо вдвое увеличить число узлов на полуокружности. Отметим, что для всех рассмотренных ниже видов нагрузки для обеспечения устойчивости результатов приходилось решать системы линейных алгебраических уравнений такого же порядка.

Таблица 28. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для кругового кольца с одной или двумя краевыми трещинами в случае растяжения на внешней границе кольца

Анализ представленного численного материала показывает хорошее соответствие результатов, полученных разными методами, в диапазоне где максимальное относительное различие сравниваемых решений не превышает

Рассмотрим случай постоянного давления на разрезе, когда а обе границы кольца свободны от нагрузки,

Вычисленные при соотношении безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений сопоставлены с данными работ [133, 140, 148, 164] (табл. 29). Отметим особенно хорошее согласие полученных результатов с числовыми данными работы [133], найденными с помощью модифицированного метода коллокаций и весовых функций.

Таблица 29. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для кругового кольца с краевой трещиной под давлением

В случае действия постоянного давления на внутреннем контуре кольца имеем

Вычисляя по формулам (7.4) комплексные потенциалы получаем

С учетом выражений (7.38) правые части системы (7.15) даются формулами

На рис. 75 построены зависимости безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений от параметра для одной (сплошные кривые) и двух (штриховые) трещин при различных отношениях радиусов кольца

Решение задачи при действии постоянного давления на внутреннем контуре и берегах трещины в случае одного разреза находим суперпозицией полученных выше результатов. В табл. 30 проведено сопоставление значений вычисленных при со справочными данными [166].

Хорошее соответствие сравниваемых решений (см. табл. 28— 30) дает основание полагать, что полученные результаты достоверны, а данные работы [140] для указанной нагрузки несколько завышены.