3. Симметричные пластины с краевой трещиной

Укажем здесь способ решения задачи теории упругости для областей, обладающих хотя бы одной осью симметрии и имеющих прямолинейный краевой разрез на этой оси. Сначала рассмотрим конечную область.

Рис. 38.

Квадратная пластина с краевой трещиной. Пусть квадратная пластина со стороной 2а растягивается в точках сосредоточенными силами перпендикулярно к линии краевой трещины связанной с базисной системой координат и располагающейся на отрезке линии симметрии пластины (оси Ох). Берега трещины и граница пластины отнесенная к центральной локальной системе координат свободны от напряжений (рис. 38).

Граничные условия на контурах имеют вид

Интегральное уравнение для рассматриваемого случая краевой трещины можно получить предельным переходом из уравнения (4.20) для внутреннего разреза, однако при этом левая часть уравнения должна быть выбрана однозначно (в отличие от

случая внутреннего разреза) из условия ограниченности его ядер при (см. рис. 38) в точке пересечения граничных контуров

Следовательно, вместо уравнения (4.20) будем рассматривать уравнение

в котором

Слагаемые находятся из соотношений (4.21) при

Заменой переменных сведем уравнение (4.44) к нормализованному виду

Численное решение этого уравнения будем искать в классе функций, неограниченных на концах отрезка т. е., как и в случае кусочно-гладких разрезов (третья глава), будем считать, что

где - непрерывная по Гельдеру на отрезке неизвестная функция.

Применив к интегральному уравнению (4.46) квадратурные формулы Гаусса — Чебышева (1.123), придем к системе алгебраических уравнений

для определения неизвестных величин в которой узлы и определяются равенствами

Чтобы получить замкнутую систему, присоединим сюда, как это было сделано для кусочно-гладких трещин (см. третью главу), уравнение

Кроме того, должно выполняться равенство

которое не следует из условия (4.50).

Поскольку геометрия пластины и приложенная к ней нагрузка симметричны относительно оси из выражений (4.48) и (4.50) имеем

Здесь использовано условие симметрии задачи

принято, что число узлов квадратурной формулы нечетно и учтено, что неизвестное действительная величина. Если применим условие симметрии (4.54) к равенству (4.51) с учетом соотношения получим выражение (4.53).

Следовательно, выполнение условия (4.50) влечет за собой равенство (4.51).

Таким образом, решение поставленной задачи сводится в итоге к решению полной системы комплексных алгебраических уравнений (4.52), (4.53) порядка

Найдем численное решение уравнения (4.44) при следующих значениях параметров задачи: (см. рис. 38). Параметрическое уравнение границы пластины возьмем в форме [91]

Отметим, что параметрическим уравнением (4.55) выражается граница криволинейного квадрата, т. е. квадрата с закругленными углами (в данном случае радиус закругления — длина стороны криволинейного квадрата, измеряемая по оси или Ооуо). Однако, как показали расчеты, увеличение количества слагаемых в формуле (4.55), приводящее к спрямлению сторон и уменьшению радиуса закругления углов пластины [91], не

существенно влияет на численные значения коэффициентов интенсивности напряжений.

Табл. 13 иллюстрирует поведение функции в зависимости от числа узлов квадратурной формулы. Как следует из приведенных численных результатов, стабилизация решения этой задачи происходит уже при

Таблица 13. (см. скан) Сходимость численных значений коэффициентов интенсивности напряжений для квадратной пластины с краевой трещиной

Таблица 14. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для эллиптической пластины с краевой трещиной при растяжении сосредоточенными силами

Изложенный выше подход полностью переносится на любые другие ограниченные симметричные области. В частности, полагая, например, в уравнении (4.44)

получаем решение аналогичной задачи для эллиптической пластины с краевой трещиной соответствующие большая и малая полуоси эллипса).

В табл. 14 приведены результаты решения этой задачи при различных отношениях осей эллипса и при Упругая постоянная и, параметр и расстояние точек

приложения растягивающих сосредоточенных сил от трещины такие же, как и в предыдущем случае (см. рис. 38). Если получаем задачу о краевой трещине в растягиваемом сосредоточенными силами круговом диске [68, 149, 162]. Сопоставление полученных для соответствующих параметров задачи результатов с данными работы [68] показывает их практически полное совпадение.

Как и в случае внутренней трещины, на берегах которой действуют растягивающие сосредоточенные силы (см. параграф 2 настоящей главы), полагая в уравнении аналогично находим численное решение задачи о внецентренном растяжении ограниченной симметричной пластины сосредоточенной нагрузкой, приложенной к берегам краевого разреза.

Рис. 39.

Бесконечная плоскость с криволинейным отверстием и краевой трещиной. Пусть в бесконечной плоскости на оси имеется прямолинейный разрез правая вершина которого выходит на границу симметричного относительно оси криволинейного отверстия. Отнесем контуры и к локальным декартовым системам координат (система совпадает с базисной системой хОу) и будем считать, что на берегах трещины и на границе отверстия действуют симметричные относительно оси нагрузки

а напряжения и вращения на бесконечности отсутствуют.

Случай отверстия с краевой трещиной получим из системы прямолинейного и криволинейного разрезов в бесконечной плоскости, когда криволинейный разрез выходит и заканчивается в правой вершине прямолинейной трещины (рис. 39). Тогда интегральное уравнение задачи имеет вид (3.106) при Очевидно, что численное решение этого уравнения не будет устойчивым. Однако в симметричном случае, при использовании условий симметрии, возможно построение устойчивого алгоритма его решения [58, 104].

Получим решение задачи, полагая что на бесконечности пластина подвергнута одноосному перпендикулярно к трещине или всестороннему растяжению усилиями а отверстие и трещина свободны от нагрузки. Тогда правая часть уравнения (3.106) дается формулой

где

(определение функций см. в параграфе 3 третьей главы).

Пусть - параметрическое уравнение границы отверстия где центральный угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки (см. рис. 39). Заменой получим равенство

для которого имеют место выражения

диаметр внутренней области, ограниченной контуром измеряемый вдоль его оси симметрии.

Известно [49], что нормальные и касательные компоненты тензора напряжений в локальной системе координат нормаль, касательная) связаны с соответствующими компонентами напряжений в декартовых координатах соотношением

Поскольку на границе отверстия и при положительный обход контура осуществляется по часовой стрелке (см. формулы (4.58), (4.59)), то на основании формулы Колосова — Мусхелишвили (1.4) получим

где

Граничные значения потенциала (4.61) найдем по формулам Сохоцкого — Племеля (1.20)

которые после замены переменных (4.58) приобретают вид

Применяя к сингулярному интегралу равенства (4.63) квадратурную формулу Гаусса — Чебышева и пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа для искомой функции по узлам можно определить значения потенциалов следовательно, значения напряжений в любой точке отличной от узлов коллокации Однако если воспользоваться тем фактом, что внутренняя область, вырезанная контуром находится в ненагруженном состоянии, то в вычислении сингулярного интеграла в выражении (4.63) нет необходимости [27, 53]. Поскольку в данном случае

то при использовании полученного на основании формул (4.63) равенства

находим

Следовательно, соотношение (4.60) принимает вид

Коэффициент концентрации напряжений в любой точке контура границы отверстия определим по формуле

Выражение (4.65) дает возможность находить напряжения в произвольных точках контура в частности в точках, для которых значение совпадает с внутренними узлами коллокации квадратурной формулы Гаусса — Чебышева (1.123). При ее непосредственном применении к равенствам (4.63) напряжения в точках границы которым отвечают значения узлов не могут быть получены. Для вычисления сингулярного интеграла

при значениях совпадающих с внутренними узлами необходимо пользоваться специальными, однако менее точными квадратурными формулами (подробно об этом см., например, в работе [71]).

В табл. 15 для случая эллиптического отверстия с прямолинейной краевой трещиной приведены значения безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений и концентрации напряжений в точке А (рис. 40). Данные над чертой соответствуют

одноосному, а под чертой — всестороннему растяжению пластины на бесконечности усилиями

При уравнение эллипса (4.56) превращается в уравнение окружности радиуса а и, как следует из табл. 16, с увеличением относительного параметра коэффициент концентрации напряжений для одноосного растяжения, монотонно уменьшаясь, стремится к трем (решению задачи Кирша [76]).

Таблица 15. (см. скан) Коэффициенты интенсивности и концентрации напряжений при одноосном и всестороннем растяжении плоскости с эллиптическим отверстием и краевой трещиной

Таблица 16. (см. скан) Коэффициенты концентрации напряжений при одноосном растяжении плоскости с двумя эллиптическими отверстиями, соединенными прямолинейным разрезом

Найденные здесь коэффициенты интенсивности напряжений для кругового отверстия с краевой трещиной при числе узлов разбиения границы отверстия хорошо согласуются со значениями коэффициентов интенсивности напряжений, полученными другим путем [147, 150].

Рис. 40.

Рис. 41.

Аналогично могут быть вычислены коэффициенты интенсивности и концентрации напряжений для любых других криволинейных отверстий симметричной формы, когда краевая трещина находится на оси симметрии.