2. Решение интегральных уравнений при наличии угловых точек на граничных контурах

Представление плотностей комплексных потенциалов в виде (3.2) позволяет не только исследовать поведение напряжений и смещений вблизи угловых точек контура, но и получить решение сингулярных интегральных уравнений с явно выделенными особенностями в этих узлах. Ниже рассмотрим случаи кусочно-гладкой криволинейной трещины и криволинейного отверстия с угловыми точками на его контуре [98, 101]. Аналогично может быть исследован общий случай конечной или бесконечной многосвязной области с концентраторами напряжений такого вида.

Кусочно-гладкая криволинейная трещина. Пусть в бесконечной плоскости имеется криволинейный разрез берега которого нагружены самоуравновешенными усилиями а напряжения на бесконечности отсутствуют. Краевая задача для такой области приводится к решению сингулярного интегрального уравнения (1.67) при условии (1.69).

Предположим, что контур является кусочно-гладким, состоящим из гладких участков начало и конец разреза Тогда уравнение (1.67) и условие (1.69) можно записать следующим образом:

Будем искать функции в виде (3.2). Воспользовавшись представлениями интегралов (1.35), (1.37), (1.39), (1.42) и (1.45), представим систему уравнений (3.25) в форме

Здесь

(см. скан)

остальные обозначения такие же, как и в соотношениях (3.5). Условие (3.26) при этом преобразуется к виду

При использовании соотношений

следующих из равенств (3.9), (3.11) и (3.12), систему уравнений (3.25) и (3.26) запишем в виде

где

действительные параметры являются корнями характеристических уравнений (3.14) и (3.15), удовлетворяющих условиям Через постоянные ) по формулам (3.19) находятся коэффициенты интенсивности напряжений в угловых точках Для определения коэффициентов интенсивности напряжений в начале и конце трещины с помощью равенств (1.152) и (3.32) получим соотношения

Отметим, что внеинтегральные слагаемые в уравнениях (3.31) остаются ограниченными при стремлении точки к угловой точке поскольку при имеют место соотношения

т. е. коэффициенты при особенностях нравны нулю, так как параметры удовлетворяют уравнениям (3.14) и (3.15).

Пусть параметрические уравнения контуров даются равенствами Ода После замены переменных преобразуем систему (3.31) к виду

Здесь

Решение системы интегральных уравнений (3.35) будем искать в классе функций

поскольку функции равны нулю на концах контуров

С помощью квадратурных формул (1.130) и (1.131) интегральные уравнения (3.35) преобразуются в систему комплексных линейных алгебраических уравнений

для определения комплексных величин действительных постоянных Здесь узлы даются соотношениями (1.125) и (1.129). Отметим, что при вычислении сингулярных интегралов, через которые выражаются функции и 7), можно воспользоваться квадратурной формулой (1.130), поскольку плотности этих интегралов также равны нулю на концах контуров интегрирования.

Проиллюстрируем предложенный подход при решении задачи о растяжении и сдвиге на бесконечности пластины, ослабленной свободной от нагрузки симметричной двухзвенной ломаной трещиной (рис. 25). В табл. 4 приведены относительные значения коэффициентов интенсивности напряжений в угловой точке и в вершине трещины при растяжении; при сдвиге), полученные в результате решения системы (3.38) при без учета симметрии задачи. Отметим, что при приведенные коэффициенты интенсивности напряжений как в угловой точке, так и в вершинах трещины хорошо согласуются с аналогичными данными работы [174], где симметричная задача рассмотрена путем численного решения сингулярного интегрального уравнения с помощью квадратурных формул Гаусса-Якоби.

Рис. 25.

Криволинейное отверстие с угловыми точками на контуре. Пусть в бесконечной плоскости имеется криволинейное отверстие, на контуре которого задана самоуравновешенная нагрузка а напряжения на бесконечности отсутствуют. Краевая задача для такой области приводится к сингулярному интегральному уравнению (1.91). Предположим, что контур является кусочно-гладким, состоящим из гладких участков Тогда уравнение (1.91) можно записать в виде

где произвольная точка внутри контура произвольный параметр размерности длины.

Представив функции в форме (3.2), приведем систему интегральных уравнений (3.39) к виду

Таблица 4. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений в угловой и концевой точках симметричной двухзвенной ломаной трещины

Здесь

функции и определяются соотношениями (3.28), причем параметры с индексом соответствуют тем же параметрам с индексом

После замены переменных система интегральных уравнений (3.40) преобразуется к виду

где

функции даются формулами (3.36).

Представив искомые функции в виде (3.37), приведем с помощью квадратурных формул (1.130) и (1.131) интегральные уравнения (3.42) к системе комплексных линейных алгебраических уравнений

для определения комплексных величин действительных постоянных Отметим, что системы алгебраических уравнений (3.38) и (3.44) записаны для

случая, когда на каждом из контуров расположено одинаковое число узловых точек Обобщение на различное число узлов на различных контурах очевидно.

В качестве примера рассмотрим всестороннее растяжение усилиями бесконечной плоскости, ослабленной свободным от нагрузки полукруговым отверстием (рис. 26). В результате решения системы уравнений (3.44) при с помощью формул (3.19) для коэффициентов интенсивности напряжений в угловой точке контура получены следующие значения:

Способы решения интегрального уравнения для гладкой криволинейной трещины. Положив в равенствах (3.25) — (3.38) N= 1, получим случай гладкой криволинейной трещины. Система алгебраических уравнений (3.38) при этом преобразуется к виду (см. также равенства (1.145) и (1.146))

где использованы те же обозначения, что и в соотношениях (3.32). Коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещины находятся через постоянные по формулам (3.33).

Рассмотрим несколько иной способ решения сингулярного интегрального уравнения для криволинейной трещины. После замены переменной интегральное уравнение (3.25) и условие (3.26) (при можно записать в форме

где ядра и функция даются равенствами (3.36).

Искомая функция принадлежит классу функций вида

Будем искать ее в форме

где комплексные постоянные, т. е. применим тот же прием выделения особенности решения, что и выше, но уже к преобразованному интегральному уравнению. Очевидно, что функцию (3.48) можно также записать в виде

Рис. 26.

Рис. 27.

Подставив ее в равенства (3.46) и воспользовавшись квадратурными формулами (1.130) и (1.131), получим систему комплексных линейных алгебраических уравнений

для определения значений и двух комплексных постоянных Интегралы

в системе (3.50) могут быть вычислены с помощью квадратурных формул (1.121) и (1.124).

С помощью соотношений (1.141) и (3.49) получим формулы для коэффициентов интенсивности напряжений

Таким образом, численное решение сингулярного интегрального уравнения в случае гладкой криволинейной трещины может быть получено различными способами. Один из способов был указан в первой главе (система (1.139). Здесь приведены еще два различных приема такого решения (системы (3.45) и (3.50)).

Таблица 5. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений при всестороннем растяжении плоскости с трещиной вдоль дуги окружности, эллипса или параболы

Проиллюстрируем эффективность указанных способов решения на примере задачи о всестороннем растяжении усилиями бесконечной плоскости, ослабленной свободной от нагрузки симметричной трещиной (рис. 27).

В табл. 5 при различных значениях параметра приведены значения коэффициентов интенсивности напряжений полученные после решения системы (3.45), для случая, когда является дугой окружности полуэллипсом или дугой параболы Решение этой же задачи с помощью системы (1.139) приведено в работе [95]. Было получено также решение системы (3.50). Численный анализ показал, что наиболее эффективным является подход, основанный на решении системы (3.45); наименее эффективно решение системы (1.139).