3. Круговое кольцо с краевыми трещинами при действии сосредоточенных сил на граничных контурах

Выше уже отмечалось, что использованный в шестой главе метод рядов Фурье неэффективен при решении задачи о действии на круговое кольцо сосредоточенных сил в основном из-за отсутствия простого решения для сплошного кольца.

Рис. 75.

Рис. 76.

Предложенный в настоящей главе подход позволяет учесть влияние сосредоточенных факторов, причем при действии сил на внутреннем контуре кольца процедура решения ничем не отличается от таковой при гладких нагрузках.

Сосредоточенная нагрузка на внутренней граничной окружности [108]. Пусть на внутренней границе кольца в концах диаметра, перпендикулярного к линии трещин, приложены две равные и противоположно направленные растягивающие силы а внешний контур и берега трещин свободны от нагрузок (рис. 76 ). Вычислим потенциалы для такой нагрузки. По формулам (7.4), в которых следует положить

где - функция Дирака, получаем

Следовательно, правые части системы (7.15)

являются гладкими функциями, что дает возможность находить ее численное решение изложенным выше методом механических квадратур. Для этого необходимо решить систему алгебраических уравнений (7.22), в которой правые части определяются через соотношения (7.42), а последнее уравнение нужно заменить условием (7.32).

Вычисленные при различных значениях параметров и X безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений приведены в табл. 31 (над чертой — результаты для одной трещины, под чертой — для двух).

Таблица 30. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для кругового кольца с краевой трещиной в случае давления на ее берегах и на внутреннем контуре

Для проверки достоверности полученных результатов обсудим два граничных случая. В первом из них определим коэффициенты интенсивности напряжений для кольца с двумя краевыми разрезами, когда центральное отверстие мало т. е. фактически решим задачу о круговом диске с центральной трещиной, берега которой раскрываются сосредоточенными силами. Сравнение результатов вычислений с данными для диска с центральным разрезом [95] показало, что при равной 0,6 и 0,7, относительные отклонения решений соответственно 1,9 и

Во втором граничном случае положим и т. е. рассмотрим задачу о бесконечной плоскости с круговым отверстием, на край которого выходят одна или две трещины. Следует отметить при этом довольно медленное стремление решения к предельному значению для неограниченной плоскости с выходящими на край кругового отверстия разрезами [95]. Так, при

сравниваемые решения отличались еще на с уменьшением отношения радиусов кольца до 1/15 и 1/20 относительное отклонение коэффициентов интенсивности напряжений соответственно снизилось до Таким образом, можно сделать вывод, что влияние внешнего ненагруженного края кругового кольца (при действии на внутреннем контуре сосредоточенных растягивающих сил) очень существенно. При определении коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах краевых радиальных трещин, выходящих на внутреннюю граничную окружность, считать кольцо бесконечной плоскостью с отверстием и трещинами можно лишь начиная со значения

Для случая одной краевой трещины в круговом кольце при растяжении его внутренней границы сосредоточенными силами безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений в табл. 32 при сравниваются с соответствующими данными работы [132], полученными методом конечных элементов.

Таблица 31. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для кругового кольца с одной или дзумя краевыми трещинами

Таблица 32. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для кругового кольца с краевой трещиной

Отмечая не очень хорошее соответствие сопоставляемых результатов, укажем, что достоверность полученных в настоящей работе данных подтверждается устойчивостью численного решения, а также хорошей сходимостью к рассмотренным выше граничным случаям.

Действие сосредоточенных сил на внешнем контуре [108]. Рассмотрим случай, когда кольцо сжимается двумя сосредоточенными силами действующими на внешнем контуре вдоль линии трещин [81, 107—109]. Берега трещин и внутренняя граничная окружность свободны от нагрузок (рис. 76, ). Тогда

Поскольку правая часть системы (7.15) при таком нагружении содержит дельта-функции Дирака для получения численного решения сведем указанную систему к уравнениям с непрерывными правыми частями. С этой целью представим искомую функцию в виде

где слагаемое

удовлетворяет интегральному уравнению первой основной задачи для кругового диска радиуса сжимаемого сосредоточенными силами

Подставив в виде (7.44) в систему (7.15), получим для определения функции сингулярные интегральные уравнения с гладкими правыми частями

численное решение которой уже может быть получено методом механических квадратур.

Безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений вычисленные в зависимости от величины К при различных значениях параметра приведены в табл. 33. Над чертой даны результаты для одной трещины, под чертой — для двух. Здесь же для случая одной трещины приводятся данные работ [132, 175], полученные другим путем. Сопоставление численных решений позволяет сделать вывод, что результаты работы [132] при не совсем точны; на возможную их ошибочность как при сжатии, так и при растяжении указывалось в работе [175]. Этим, по-видимому, объясняется и некоторое различие данных табл. 32. Отметим также хорошее согласование данных табл. 33, полученных при используемым в настоящей работе подходом, с решением [155], построенным с помощью метода конечных элементов.

Таблица 33. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для круглого кольца с одной или двумя краевыми трещинами

Влияние малого центрального отверстия в образце на коэффициенты интенсивности при сжатии [82]. При изготовлении дискового образца с центральной трещиной в центре диска сначала просверливают отверстие, от которого затем одним из способов (механическим, лазерным, электроискровым и др.) выводят трещину. Таким образом, фактически используется не дисковый, а кольцевой образец с малым отверстием. Исследуем влияние такого отверстия на коэффициенты интенсивности напряжений.

Пусть круговое кольцо с двумя краевыми диаметральными трещинами равной длины I сжимается сосредоточенными силами вдоль линии трещин. Зависимость найденных после численного решения системы интегральных уравнений (7.47) безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений толщина кольца) от параметров приведены в табл. 34. В последней строчке даны результаты для диска [95]. Представим функцию в виде суммы

где безразмерный коэффициент интенсивности для диска; поправочная функция, учитывающая наличие отверстия. Анализ табличных данных и графических зависимостей изменения функции (рис. 77) показывает, что при в диапазонах изменения относительной длины трещины в пределах которых ведутся эксперименты, изменение как функции 8 при фиксированных значениях можно описать параболой; при постоянном параметре 8 зависимость линейна по

Рис. 77.

Поэтому искомую функцию аппроксимируем выражением

учитывающим следующее из определения поправочной функции условие:

Таблица 34. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для кругового кольца с двумя краевыми трещинами

Воспользовавшись аппроксимациоиными формулами для коэффициентов интенсивности напряжений в диске с центральной трещиной [127]

получаем простые выражения для расчета коэффициентов интенсивности напряжений в сжимаемом круговом кольце 1/6) с двумя диаметральными трещинами. Максимальная относительная погрешность формулы (7.48), в которой функции даются соотношениями (7.49), (7.51), не превышает 0,25% для в случае (с учетом погрешности формулы (7.51)). Заметим также, что при результаты расчетов для кольца и диска отличаются менее чем на

Если радиус центрального отверстия в диске очень мал то в диапазоне поправочная функция может быть аппроксимирована линейной зависимостью

При этом погрешность выражения (7.48) в указанном диапазоне изменения параметров V и 8 относительно значения функции У, если коэффициент точен, не превышает При использовании линейного [127]

и квадратичного (7.51) приближений при максимальная относительная погрешность соотношения (7.48) составляет соответственно