6. Система отверстий и трещин в бесконечной плоскости с полубесконечным разрезом

Пользуясь результатами, полученными в третьей главе, приведем сингулярные интегральные уравнения для многосвязной плоскости с отверстиями и разрезами, среди которых хотя бы один разрез полубесконечный.

Постановка задачи и ее сведение к интегральным уравнениям. Рассмотрим бесконечную -связную область 5, ослабленную отверстиями и изолированными трещинами. Обозначим через граничные контуры области, так что при символы обозначают замкнутые контуры (границы

отверстий), а при разомкнутые контуры трещин. Считаем также, что контур разреза является полубесконечным и совпадает с положительной полуосью абсцисс системы хОу (рис. 45).

Предположим, что контуры отверстий и трещии связанные с локальными системами координат системы совпадают), загружены самоуравновешенными усилиями

Рис. 45.

Пользуясь результатом (4.17) при когда контур целиком уходит в бесконечность, а также подходом, изложенным в третьей главе (см. параграф 5), записываем систему сингулярных интегральных уравнений задачи в виде

Здесь

где определяются из соотношений углы между положительными направлениями осей комплексные координаты точек в системе координат

Исключенная на разрезе неизвестная функция имеет вид (3.140). При этом граничное условие на разрезе удовлетворяется тождественно.

Взаимодействие кругового отверстия с полубесконечной трещиной.

Рис. 46.

Пусть в бесконечной плоскости имеется круговое отверстие радиуса центр которого находится в точке и полубесконечный разрез. Плоскость растягивается перпендикулярно к разрезу сосредоточенными силами приложенными в точках а контур отверстия и берега разреза свободны от напряжений (рис. 46). Суперпозицией данная задача приводится к модифицированному сингулярному интегральному уравнению по контуру

где

Правая часть уравнения (4.88) дается соотношением (3.147).

Найдем численное решение этой задачи в случае, когда точки приложения сил находятся соответственно на верхнем и нижнем берегах полубесконечного разреза Заменой

переменных сведем уравнение (4.88) к уравнению в безразмерных координатах, численное решение которого получим с помощью квадратурных формул для интегралов по замкнутому контуру (1.112). Коэффициенты интенсивности напряжений около вершины разреза определим по формуле (3.144). 1

Таблица 21. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для полубесконечного разреза в плоскости с отверстием

В табл. 21 приведены коэффициенты интенсивности напряжений (над чертой) и (под чертой) для некоторых относительных расстояний точек приложения растягивающих сил от вершины полубесконечного разреза также значений модуля и аргумента комплексной координаты соответствующей в системе местоположению центра отверстия точки (см. рис. 46). Для угла равные нулю значения не приводятся. В последней колонке таблицы помещены величины безразмерного коэффициента интенсивности напряжений для полубесконечного разреза в плоскости при

отсутствии отверстия вычисленные по известной формуле

Анализ полученных результатов показывает, что когда силы действуют вблизи вершины трещины то при возмущенное действие отверстия минимально при всех рассмотренных значениях параметра с увеличением угла от нуля до значение коэффициента интенсивности напряжений возрастает и увеличивается его отличие от значения при отсутствии отверстия При максимум функции также находится в точке однако ее минимальное значение достигается для и при углах соответственно.

Другая картина в поведении функции наблюдается при больших относительных расстояниях точек приложения растягивающих сосредоточенных сил Коэффициенты интенсивности напряжений максимальны при когда 6, и при когда При этом для расстояний меньших или равных 3, функция монотонно убывает на замкнутом интервале так что максимальные коэффициенты интенсивности напряжений находятся при С увеличением относительного параметра минимум функции смещается в точку