4. Прямоугольный образец с центральной трещиной на растяжение силами, приложенными к жестким круговым включениям

В экспериментальной практике более широкое распространение по сравнению с квадратным образцом, растягиваемым силами, приложенными к границам отверстий, нашел аналогичный образец, когда силы приложены к круговым жестким включениям [89]. Ниже будут рассмотрены образцы такого типа.

Рассмотрим прямоугольную пластину со сторонами , в которой имеются центральная трещина длины 21 и два круговых жестких включения радиуса симметрично размещенных относительно середины трещины на расстоянии от нее (рис. 53). Отнесем контуры внешняя граница пластины; разомкнутый контур разреза (трещины); границы включений) к локальным декартовым системам координат причем системы совпадают с основной декартовой системой Точки в

системе определяются координатами а оси Окхк образуют с осью углы Внешняя граница и берега трещины свободны от нагрузки, а система сил, приложенных к каждому жесткому включению, сводится к равнодействующим которые направлены вдоль вертикальной оси образца и растягивают его.

Граничные условия задачи следующие:

где нормальная и тангенциальная компоненты напряжений; компоненты смещений в системе координат Компоненты главных векторов усилий, приложенных к каждому из контуров равны (сила отнесена к толщине пластины).

Пользуясь результатами (1.80) и (1.87), приходим к системе четырех сингулярных интегральных уравнений [95, 113]:

для определения неизвестных функций Здесь и — прямые значения потенциалов в которых функции даются формулами (5.35), а потенциалы и могут быть найдены из соотношений (1.66); при при дуговая абсцисса, соответствующая точке

В развернутой форме систему (5.43) запишем в виде

где

определяются равенствами (1.81) и (1.89);

Система (5.44) имеет единственное решение при условии (5.1). Из симметрии задачи относительно центра трещины следует соотношение с учетом которого система (5.44) превращается в систему трех уравнений типа (5.32).

Пусть - параметрическое уравнение контура которое для совпадает с уравнением (4.40). Тогда в полученной системе и условии (5.1) заменой переменных

интегрирование на контурах сведем к интегрированию по промежуткам и —

В результате применения квадратурных формул (5.15) получим алгебраических уравнений для определения неизвестных величин Учет условий симметрии задачи (1.101), (1.103) и

при четных позволяет понизить порядок алгебраической системы вдвое. При этом условие (5.1) выполняется тождественно, а безразмерный коэффициент интенсивности напряжений определим по формуле (5.20). При расчете упругая постоянная принималась равной а относительный радиус жестких включений .

На рис. 54 для квадратного образца представлена зависимость безразмерного коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины X, причем рис. 54, а соответствует случаю (сплошные линии) и (штриховые линии), а рис. 54, б относится к случаю

Штрихпунктирные кривые для квадратной пластины, растягиваемой сосредоточенными силами при получены по приближенной эмпирической формуле [145]

где

основанной на решении для бесконечной плоскости Ко, умноженном на поправочные функции, учитывающие конечность длины и ширины пластины.

Установленный на дисковых образцах характер изменения коэффициента интенсивности напряжений в зависимости от относительных длины трещины расстояния включения и его радиуса а также постоянной х (см. параграф 2 настоящей главы) качественно не изменился (см. рис. ). В частности, как и в случае диска при малых а коэффициент интенсивности напряжений вначале растет, достигая максимума щах, после чего падает до минимума и затем снова растет.

Рис. 54.

Относительная разность экстремальных значений т. е. величина 8, рассчитанная по формуле (5.28) при малая, так что можно говорить об участке стабилизации в некотором интервале длин трещин от до Для квадрата, если при а если то При Для дискового образца (см. параграф 2) при длина участка стабилизации Следовательно, интервал котором коэффициент практически не изменяется, в квадратном образце существенно больше, чем в дисковом, а заданный параметр достигается при больших расстояниях а.

Аппроксимация полученных численных значений безразмерного коэффициента интенсивности напряжений (см. рис. 54, табл. 25) методом наименьших квадратов дает для квадратного образца в предположении плоской деформации простые формулы [113] для вычисления коэффициента интенсивности напряжений при

при

Таблица 25. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для квадратного образца с центральной трещиной и двумя жесткими включениями при а

Для плоского напряженного состояния [89, 113] при

при

Отметим, что для квадратной пластины при принятые для расчета относительные расстояния жестких включений от трещины а слабо влияют на значения коэффициентов интенсивности напряжений и для расстояний они практически совпадают между собой (их относительная разница составляет менее Поэтому табл. 25 для содержит данные для случая, когда длина трещины X изменяется в пределах

Таблица 26. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для прямоугольного образца с центральной трещиной и двумя жесткими включениями при

В случае прямоугольного образца табл. 26) при имеют место следующие формулы [111]:

для плоской деформации

для плоского напряженного состояния. При этом длина интервала стабилизации в случае прямоугольной пластины больше, чем в случае квадратной, однако также увеличивается

относительная разница экстремальных значений коэффициента интенсивности напряжений

При квадратный образец, как и дисковый, может быть использован для испытаний с монотонно возрастающим по мере развития трещины коэффициентом интенсивности напряжений. Расчеты показали, что при расстоянии между жесткими включениями и трещиной а коэффициент уже практически не зависит от относительного радиуса включений при (см. рис. 54, б, а также табл. 27, где приведены значения безразмерного коэффициента интенсивности напряжений для. крайних значений параметра при Точнее, если при расстоянии а не учитывать наличие жестких включений то при определении коэффициента интенсивности напряжений для это может привести к относительной погрешности, не: превышающей

Таблица 27. (см. скан) Коэффициент интенсивности напряжений для квадратного образца с центральной трещиной и двумя жесткими включениями при

Аппроксимационные формулы при

для плоской деформации и

для плоского напряженного состояния [89, 113].

Квадратные образцы, растягиваемые сосредоточенными силами, были использованы [145] для моделирования панели, нагрузка на которую передается через заклепки. При этом коэффициент интенсивности напряжений оценивали приближенной эмпирической формулой (5.47).

Вычисления по этой формуле, удовлетворительно отображающей характер изменения когда X и а малы (см. рис. 54, а, штрихпунктирная кривая), позволили сделать вывод [167] о стабильности данной характеристики при в диапазоне длин трещин а для близких к квадрату прямоугольных пластин.

Рис. 55.

Рис. 56.

Вывод был подтвержден экспериментально стабильностью в указанном интервале скорости роста трещины при циклическом нагружении, а также расчетом при нескольких значениях длины трещины с привлечением метода конечных элементов. Однако при больших а приведенная формула дает неправильные результаты (см. рис. 54, б, штрихпунктирная кривая), что также было обнаружено [179] путем сопоставления их с данными, найденными методом конечных элементов при Последние результаты отличаются не более чем на от полученных по формуле (5.16) при том же значении

В работе [57] определены коэффициенты интенсивности напряжений в растягиваемой квадратной пластине с диагональной трещиной (рис. 55). Расчет выполнен для тех же параметров что и в предыдущем случае. При этом длина участка стабилизации (рис. 56) при расстоянии больше, чем при и равна 0,25 и 0,23 соответственно. Однако в первом случае рассчитанная по формуле (5.28) относительная разность экстремальных значений коэффициента интенсивности 6 составляет 1,7%, во втором — т. е. в рассмотренном образце заданный параметр достигается при больших расстояниях отрезок стабилизации несколько короче, чем в предыдущем случае.

Следует отметить, что в данной задаче скругление выступающих углов образца (особенно при больших относительных длинах трещины) быстрее приводило к устойчивому решению. В расчетах радиусы скругления углов рис. 55) полагались равными 0,1 а и 0,2 а. При этом численные решения совпадали до четвертой значущей цифры включительно во всем диапазоне изменения параметра