3. Квадратный образец с центральной трещиной на осевое растяжение силами, приложенными к границам круговых отверстий

Пусть квадратная пластина со стороной внешняя граница пластины) содержит центральную прямолинейную трещину вдоль отрезка оси и два круговых отверстия границы отверстий) одинакового радиуса с центрами в точках и Отнесем контуры L к локальным системам координат причем системы совпадают с базисной системой (рис. 52).

Рис. 52.

Будем считать, что внешний контур и берега трещины свободны от напряжений, а к каждому контуру отверстия приложена нагрузка

компоненты главного вектора которой Комплексные потенциалы напряжений для рассматриваемой задачи будем искать в виде (1.79) при Предположим, что нагрузка симметрична относительно центра трещины неизвестные функции равны и Для их определения достаточно удовлетворить граничные условия только на одном из отверстий и на контурах В результате система четырех сингулярных интегральных уравнений (1.80) сведется к системе трех уравнений

где

Численное решение системы (5.32) при условии (5.3) найдем в предположении, что пластина растягивается сосредоточенными силами приложенными к точкам контуров отверстий (см. рис. 52), т. е.

Поскольку в правую часть системы (5.32) входит дельта-функция, для получения численного решения необходимо свести эту систему к уравнениям, в которых правые части являются гладкими функциями. Как и в первом параграфе данной главы, представим искомую функцию в виде

Составляющая

удовлетворяет уравнению [95]

и является решением задачи для бесконечной плоскости с одним круговым отверстием нагруженным при сосредоточенной силой

Следовательно, система трех сингулярных интегральных уравнений (5.32) примет форму

где

а для неизвестных функций оставлены прежние обозначения.

Правая часть системы (5.38) содержит только гладкие функции, поэтому ее численное решение может быть найдено методом механических квадратур (см. параграф 4 первой главы). Учет симметрии задачи позволяет сократить вдвое порядок соответствующей системы линейных алгебраических уравнений.

Таблица 24. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для квадратного образца с центральной трещиной и двумя круговыми отверстиями

В табл. 24 приведены результаты расчетов безразмерного коэффициента интенсивности напряжений для различных значений относительной длины трещины и полурасстояния между центрами отверстий радиуса Упругая постоянная принималась равной 2.

В работах [61, 63, 95, 105] исследовано напряженно-деформированное состояние растягиваемой на бесконечности плоскости, содержащей два одинаковых круговых отверстия и произвольно

ориентированный прямолинейный разрез, а также определены напряжения в неограниченной пластине с трещиной и двумя круговыми отверстиями одинакового радиуса, границы которых загружены растягивающими усилиями. Задачи приводились к частному случаю системы сингулярных интегральных уравнений (5.32), в которой внешний контур границы пластины отсутствует. Сопоставление полученных в [63, 95, 105] и в табл. 24 результатов показывает, что при малых относительных длинах трещины 0,2 наличие отверстий существенно влияет на коэффициенты интенсивности напряжений, а влияние внешней границы мало, так что значения близки к соответствующим решениям для. бесконечной пластины.

Если же относительная длина трещины то результат близок к случаю, когда отверстия отсутствуют, а силы приложены во внутренних точках квадрата, соответствующих центрам отверстий. Этот случай рассматривался по изложенному в работе [56] алгоритму решения задачи о растяжении во внутренних точках прямоугольной пластины с трещиной сосредоточенными силами.

Отметим, что при всех рассмотренных расстояниях отверстий от трещины (а равно 0,2; 0,4; 0,6) функция монотонно возрастает с ростом длины трещины.

Рис. 53.