7. Двухкомпонентное кольцо произвольного внешнего очертания с трещинами

Ниже в строгой постановке рассматривается плоская задача для двухкомпонентной кольцевой области произвольного внешнего очертания с криволинейными трещинами [87, 90, 112]. Численный анализ проводится для случая кругового кольца с одной или двумя краевыми радиальными трещинами.

Интегральные уравнения задачи. Пусть с конечной упругой областью, ограниченной замкнутыми контурами (окружность радиуса и (произвольный гладкий контур), посредством натяга соединено подкрепляющее кольцо с внешним контуром Ограниченное замкнутыми контурами двухкомпонентное кольцо ослаблено системой криволинейных разреза, причем разреза находятся внутри, а остальные разрезы вне контура Отнесем каждый контур к локальной системе координат ось которой образует угол с осью причем системы совпадают с основной декартовой системой координат с началом в центре окружности Упругие постоянные внутреннего и подкрепляющего колец равны соответственно (рис. 89), где плоской деформации и для обобщенного плоского напряженного состояния; — соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига.

На контуре имеют место условия сопряжения

На замкнутых контурах и на берегах разрезов заданы усилия

удовлетворяющие условиям равновесия

которые выражают равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контурах Обход замкнутых контуров осуществляется против часовой стрелки.

Рис. 89.

Воспользовавшись интегральными представлениями комплексных потенциалов напряжений в виде (7.3), где следует положить при при и удовлетворяя с их помощью условиям сопряжения (7.75) и граничным условиям (7.76), получим [106, 110] систему сингулярных интегральных уравнений для определения неизвестных функций

где

символ Кроиекера; выражения в верхней строчке фигурных скобок относятся к случаю в нижней — к ядра даются выражениями

К уравнениям (7.78) прибавлены функционалы

где произвольная точка в области Они равны нулю при выполнении условий равновесия (7.77) и обеспечивают разрешимость системы (7.76) при любой правой части, причем в случае внутренних трещин решение системы должно удовлетворять условиям однозначности смещений (1.83) при обходе контуров разрезов

Кусочно-однородное круговое кольцо с краевыми трещинами (строгое решение). Полученное в предыдущем параграфе приближенное решение задачи о напряженном состоянии собранного - с натягом двухкомпонентного кругового кольца применимо лишь в случае трещин малой длины. Здесь в качестве примера исследуем в строгой постановке составное круговое кольцо, т. е. примем, что концентрические окружности радиусов соответственно. Пусть такое кольцо ослаблено одной или двумя радиальными трещинами (см. рис. 84) длиной I вдоль оси

выходящими на внутренний край области. В случае одной трещины система (7.78) преобразуется в систему трех сингулярных интегральных уравнений. Если предположить нагрузку симметричной относительно оси ординат, то случай двух симметричных коллинеарных трещин (при учете симметрии области и нагрузки относительно оси приводится также к трем интегральным уравнениям такой же структуры. Учет симметрии относительно линии трещин при численной реализации задачи на ЭВМ позволил уменьшить вдвое число линейных алгебраических уравнений, к которым с помощью метода механических квадратур сводится полученная система трех интегральных уравнений.

Таблица 43. (см. скан) Коэффициент интенсивности напряжений для различных нагрузок двухкомпонентного кругового кольца с одной или двумя краевыми трещинами

В общем случае задача имеет много параметров (различные механические характеристики материалов, давления на линии раздела сред и на граничных контурах, натяг между кольцами, геометрические размеры колец и трещин). Поэтому для численного анализа задачи выберем упругие характеристики и размеры колец равными соответственно (твердый сплав (среднеуглеродистая сталь) и Будем считать, что

на контуре действует нормальное равномерно распределенное давление интенсивностью а натяг между кольцами отсутствует. Выбранные параметры и нагрузка соответствуют волочению прутков круглого сечения через волоку формы 9 (см. табл. 41) в режиме граничного трения. Безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений для такого нагружения приведены в табл. 43 (над чертой для одной трещины, под чертой — для Двух).

Здесь же даны результаты для двух трещин, полученные в параграфе 6 в рамках приближенной постановки.

Рис. 90.

Рис. 91.

Анализ данных позволяет сделать вывод, что для указанной нагрузки приближенное решение вполне приемлемо, пока длина краевой трещины не превышает при этом относительная погрешность сравниваемых результатов находится в пределах При дальнейшем увеличении длины трещины сказывается влияние линии раздела сред и ограниченность рассматриваемой области, что не было заложено в приближенной модели и является причиной занижения результатов.

Рассмотрим другой случай, когда натяг между образующими композит кольцами отсутствует, а берега краевых трещин нагружены нормальным давлением. Вычисленные для такой нагрузки коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от безразмерной длины трещины приведены на рис. 90 (сплошная кривая — для одной трещины, штриховая — для двух). В частном случае однородного кольца результаты совпали с данными табл. 29.

Суперпозицией приведенных результатов можно получить решение задачи для волоки, работающей в режиме жидкостного трения, когда контур нагружен равномерным давлением интенсивностью а на трещине действует давление интенсивностью Легко видеть, что безразмерный коэффициент интенсивности при этом определяется выражением

На рис. 91 показана зависимость изменения от К при когда интенсивность приложенных на указанных граничных контурах нагрузок одинакова. При отсутствии натяга для случая двух трещин (штриховая кривая), длина которых не превышает половины радиуса отверстия, полученные данные хорошо согласуются с результатами, приведенными в предыдущем параграфе (штрихпунктирная кривая). Расхождение результатов, полученных разными подходами при возрастании длины трещин, объясняется тем, что приближенное решение правомерно лишь для коротких трещин и не учитывает конечности области

Исследуем нагружение, когда образующие композит кольца собраны с постоянным натягом а все граничные контуры свободны от нагрузок. Тогда

Вычисленные в этом случае безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений приведены в табл. 43. Поскольку при такой напряженной посадке колец трещины находятся в поле сжимающих напряжений, то коэффициенты интенсивности при этом будут отрицательны, так как используемая постановка задачи не учитывает контакт берегов трещин в процессе деформации. Эти результаты необходимы для получения решения задачи методом суперпозиции при других видах приложения силовых факторов. Например, при совместном действии давления интенсивностью на контуре и натяга на контуре имеем случай волочения в режиме граничного трения; коэффициенты интенсивности при этом вычисляются по формуле

где коэффициенты интенсивности, вычисленные для отдельно приложенных указанных нагрузок соответственно. Вычисленные по этой формуле безразмерные коэффициенты интенсивности для волоки формы 9 с двумя диаметральными краевыми трещинами, соединенной с подкрепляющим кольцом посредством натяга и нагруженной по контуру давлением сравниваются в табл. 43 с полученным в предыдущем параграфе приближенным решением в случае контактное давление на контуре Хорошее соответствие результатов на всем диапазоне изменения параметра А, объясняется тем, что для нагружений, суперпозиция которых рассматривается, погрешности приближенного подхода имеют разные знаки и в сумме дают результат, близкий к точному.

Проведенные расчеты подтвердили справедливость сделанного в предыдущем параграфе вывода, согласно которому для эффективной работы твердосплавного волочильного инструмента отношение должно стремиться к для режима граничного трения и к единице — для жидкостного трения.