3. Круговое кольцо с зоной пластичности на продолжении краевых радиальных трещин

Используем изложенный в параграфе 2 подход к численному решению сингулярных интегральных уравнений плоской задачи теории трещин при наличии полос пластичности для исследования кругового кольца с краевыми трещинами.

Рис. 94.

Постановка задачи и ее сведение к интегральным уравнениям. Пусть образованное концентрическими окружностями с радиусами круговое кольцо из идеального упругопластического материала ослаблено краевой радиальной трещиной длиной выходящей на граничный контур Кольцо находится в условиях плоского напряженного состояния и в конце трещины на отрезке имеется зона пластичности неизвестной длины (рис. 94). Пусть также на замкнутых контурах заданы самоуравновешенные усилия

а на берегах разрезов действуют нагрузки

Таблица 44. (см. скан) Значения длины пластических зон и раскрытия в вершине трещины в плоскости при одноосном растяжении на бесконечности

Необходимо определить длину зоны пластичности, раскрытие трещины в ее вершине и на краю контура а также значения внешней нагрузки, при которых полоса пластичности выходит на внешнюю граничную окружность.

Как и в случае обобщенной задачи Гриффитса, представим зону пластичности разрезом, к берегам которого (помимо действующих нагрузок) приложены постоянные сжимающие напряжения, равные пределу текучести материала на растяжение Вследствие такой замены сформулированная упругопластическая задача сводится к решению упругой задачи для кругового кольца с разрезами, длина которых равна сумме длин исходной трещины и пластической зоны. Эта задача подробно исследована в седьмой главе с тем лишь отличием, что в данном случае задана разрывная нагрузка на берегах разреза, длина которого не известна и подлежит определению.

Учитывая сказанное, из уравнений (7.9) получаем [86] систему трех сингулярных интегральных уравнений рассматриваемой упругопластической задачи:

где

ядра даются соотношениями (7.16), а остальные ядра и функции определяются выражениями (7.10), в которых следует положить

После замены переменных

с помощью метода механических квадратур приходим к системе алгебраических уравнений типа (7.22) для определения неизвестных

Построим два дополнительных алгебраических уравнения для замыкания полученной системы. Поскольку решение системы (8.38) на контурах разрезов разыскиваем (как и для случая

внутренних трещин) в классе функций, неограниченных на обоих концах интервала, т. е.

то, учитывая, что в точке выхода трещины на контур и в начале пластической зоны особенность решения меньше корневой, можно записать равенства

Отсюда получаем

Расчеты показали, что для получения замкнутой системы алгебраических уравнений нужно взять условие и любое из двух оставшихся равенств (8.42), (8.43).

Решение для кольца, ослабленного двумя симметричными диаметральными краевыми трещинами с зонами пластичности на их продолжении, найдем путем некоторого изменения ядер в интегралах по контурам точно так же, как это было сделано в случае упругой задачи (см. параграф 2 седьмой главы).

Численное решение задачи. Пусть кольцо с одной радиальной трещиной подвержено давлению действующему на внутренней граничной окружности а все остальные граничные контуры свободны от нагрузок. В этом случае правые части системы (8.38) имеют вид

Определим концентрацию напряжений на контуре Известно, что нормальные компоненты тензора напряжений в полярной системе координат связаны с функцией соотношением

Поскольку при рассматриваемой нагрузке напряжение на контуре и потенциал а в выражении (7.3) комплексного потенциала

все интегралы при являются регулярными, то напряжение на контуре легко вычисляется (без привлечения формул Соходкого — Племеля) непосредственно из соотношения (8.47):

Коэффициент концентрации напряжений в любой точке контура определим по формуле

В частности, в точке симметричной точке выхода трещины на контур имеем

где число узлов на полуокружности и контурах соответственно; даются формулами (1.109), (1.118); переменные определяются соотношениями (8.39);

Используемая постановка задачи предполагает отсутствие других пластических зон, кроме как на продолжении исходной трещины. Это влечет за собой необходимость соблюдения в кольце условия

Максимальное значение внутреннего давления при котором обязательно появится пластическая зона, получим в случае сплошного кольца без трещин. Используя известную формулу для окружных напряжений в нагруженном внутренним давлением круговом кольце [49]

и условие (8.52), получаем

Поскольку наличие трещин приводит к возрастанию концентрации напряжений, то давление в кольце с трещинами будет изменяться в интервале

В случае двух коллннеарных краевых радиальных трещин (рис. 94, штриховые кривые) концентрация напряжений на внутренней граничной окружности будет максимальна в симметричных точках, являющихся концами диаметра, перпендикулярного к линии трещин Поскольку с появлением трещин значение уменьшается, то при на контуре пластические зоны возникать не будут.

Раскрытие берегов разрезов находим аналогично обобщенной задаче Гриффитса, положив в формуле длину зоны пластичности определим описанным во втором параграфе методом.

В табл. 45 приведены результаты вычислений безразмерной длины зоны пластичности и безразмерного раскрытия в вершине трещины и в точке ее выхода на контур для одной (над чертой) и двух (под чертой) краевых трещин в зависимости от уровня нагрузки и относительной длины начальной трещины Здесь же для случая одной трещины представлены значения коэффициента концентрации напряжений в точке А контура симметричной точке выхода трещины на граничную окружность. Вычисления выполнены для отношения Анализ числовых данных показывает, что в случае двух трещин уже при отношении и длине исходной трещины полосы пластичности выходят на край кольца (прочерк в табл. 45). С возрастанием нагрузки минимальное значение длины трещины при котором возможно пересечение полосы пластичности с внешней границей уменьшается и для равно Для одной трещины при выбранных значениях параметров зона пластичности выходит на внешний край кольца только при

Отметим, что в случае одной трещины с увеличением ее длины растет концентрация напряжений на внутреннем контуре, что приводит к появлению второй зоны пластичности с началом в точке А (см. рис. 94). Поскольку наличие таких зон не учитывается постановкой задачи, результаты табл. 45, для которых коэффициент концентрации являются некорректными.

Приведенные выше результаты получены путем численного решения задач с использованием ЭВМ. Для приближенной оценки длины зоны пластичности и раскрытия в вершине трещины широко применяются также инженерные формулы, в частности известная поправка Ирвина на пластичность (см., например, работу [23])

и формула Уэллса (см., например, работы [41, 115]) для раскрытия в вершине трещины

(см. скан)

где безразмерный коэффициент интенсивности напряжений упругой задачи; силовой фактор размерности напряжений; длина краевой или полудлина внутренней трещины). В случае бесконечной пластины и указанные формулы принимают вид

где приложенные на бесконечности растягивающие напряжения; полудлина трещины. Отметим, что правая часть формулы (8.58) является первым членом разложения в ряд точного решения (8.7) при

Таблица 46. (см. скан) Результаты численного и точного решений и приближенные оценки параметров пластической зоны для бесконечной пластины с трещиной

Представляет интерес сопоставить численные решения, полученные в строгой постановке (см. табл. 44, 45), с результатами приближенных оценок и установить границы применимости последних. В табл. 46, 47 приведены результаты такого сравнения для рассмотренных в настоящей главе обобщенной задачи Гриффитса и упругопластической задачи для кольца с одной (над чертой) или двумя (под чертой) краевыми трещинами (в последнем случае приложенное к контуру отверстия давление, длина краевой трещины). Анализ данных табл. 46, 47 показывает, что в случае пластины при малых уровнях нагружения найденные с помощью инженерных оценок результаты практически совпадают с полученными численно в строгой постановке. С увеличением нагрузки точность приближенных данных ухудшается и для составляет примерно В случае кольца даже при малом уровне нагрузки и длине трещин хорошее соответствие с численным решением получено только раскрытия трещины в ее вершине; ошибка в определении длины зоны пластичности при этом составлят для и более для малых и больших длин трещин. При найденное по формуле (8.56) раскрытие в вершине трещины более чем на отличается от

численного решения; ошибка в определении длины пластической зоны при этом составляет около 100 %.

Проведенное сравнение позволяет дать следующую практическую рекомендацию. Если конец трещины достаточно далеко отстоит от внешней границы тела, то при небольших уровнях нагружения для определения характеристик упругопластического разрушения можно пользоваться приближенными инженерными формулами. В случае, когда влияние границ тела существенно, погрешность инженерных формул (8.55), (8.56) значительна, причем она больше у формулы (8.55).

Таблица 47. (см. скан) Результаты численного решения упругопластической задачи для кругового кольца с одной или двумя краевыми трещинами и приближенные оценки параметров пластической зоны

В заключение отметим, что изложенным приемом могут быть решены упругопластические задачи и в случае, когда пластические деформации локализуются в полосах под углом к основной трещине. Для этого необходимо воспользоваться системой сингулярных интегральных уравнений задачи об определении напряженно-деформированного состояния в теле, ослабленном ломаной трещиной или трещиной ветвления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)