Глава первая. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПЛОСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ТРЕЩИН

При исследовании напряженно-деформированного состояния тел с трещинами широкое применение нашел метод сингулярных интегральных уравнений. Он особенно удобен и эффективен при решении плоских задач теории упругости для тел сложной геометрии, содержащих включения, отверстия и трещины произвольной формы. Впервые [11, 137, 181] сингулярные интегральные уравнения использовались при исследовании распределения напряжений около прямолинейной трещины (или полосы пластичности) в некоторых классических областях (полуплоскость, полоса, бесконечная плоскость с круговым отверстием). Система произвольно ориентированных прямолинейных трещин изучалась в работах [21, 22, 70]. Рассматривался также случай криволинейных трещин в бесконечной плоскости [16, 40, 74, 92, 117]. В работах [94—96] основные граничные задачи для многосвязной области, содержащей изолированные криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. Эти результаты обобщены на случай, когда разрезы выходят на границу тела, а также соединяют отверстия между собой и (или) с внешней границей [97]. К настоящему времени появилось большое количество работ, в которых методом сингулярных интегральных уравнений изучаются плоские задачи теории трещин. Обзор этих исследований имеется в работах [5, 32, 45, 54, 70, 95, 100].

В данной главе изложен метод сингулярных интегральных уравнений для решения основных граничных задач плоской теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и разрезами произвольной формы при наличии угловых точек на граничных контурах, а также изучено поведение вблизи концов линии интегрирования интеграла типа Коши и некоторых других комплексных интегралов, плотности которых имеют особенности степенного характера.

1. Основные соотношения плоской задачи теории упругости

Уравнения плоской задачи теории упругости описывают упругое равновесие цилиндрических тел в случае плоской деформации, когда на тело действуют внешние силы, нормальные к его

оси и одинаковые для всех поперечных сечений, либо в случае обобщенного плоского напряженного состояния, т. е. при деформации тонкой пластинки силами, действующими в ее плоскости. Если тело отнесено к декартовой системе координат таким образом, что плоскость совпадает или с поперечным сечением стержня (плоская деформация) или со срединной плоскостью пластины (обобщенное плоское напряженное состояние), то для определения напряженно-деформированного состояния в произвольной точке упругого изотропного тела необходимо найти три компоненты тензора напряжений и две составляющие вектора перемещений — являющиеся функциями двух переменных х и у.

Рис. 1.

Известно, что при отсутствии объемных сил решение плоской задачи теории упругости сводится к интегрированию при определенных граничных условиях бигармонического уравнения

причем функция напряжений связана с искомыми напряжениями следующим образом:

С помощью функций комплексного переменного общее решение уравнения (1.1) может быть выражено через две аналитические функции по формуле Гурса

Компоненты напряжений и смещений связаны с комплексными потенциалами напряжений соотношениями [49]

Здесь модуль сдвига; модуль Юнга; — коэффициент Пуассона; для плоской деформации и для обобщенного плоского напряженного состояния.

Решение плоской задачи теории упругости сводится к отысканию в области занятой телом, двух аналитических функций удовлетворяющих на границе тела определенным условиям. Когда на границе тела заданы напряжения (первая основная задача), граничное условие имеет вид

где координаты заданного на площадке с внешней нормалью вектора напряжений; переменная точка контура; соответствующая ей дуговая абсцисса; С — произвольная комплексная постоянная.

Когда на границе заданы перемещения (вторая основная задача), граничное условие следует непосредственно из соотношения (1.6):

где известные, заданные на функции.

Граничные условия (1.7) и (1.8) основных задач теории упругости допускают и другую форму записи:

Здесь заданные нормальные и касательные компоненты усилия на границе тела;

угол, образуемый внешней нормалью к контуру и осью (см. рис. 1).

В случае многосвязной области 5 (рис. 2) функции в любой конечной ее части имеют вид

Здесь компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных к самонепересекающемуся замкнутому контуру произвольная фиксированная точка внутри контура голоморфные в области функции соответствуют такому напряженному состоянию, когда главные векторы внешних усилий, действующих на контурах равны нулю.

Для бесконечной многосвязной области когда контур Целиком уходит в бесконечность (см. рис. 2), комплексные потенциалы можно представить в форме

Здесь

являются компонентами главного вектора внешних усилий, приложенных к границе области функции при больших имеют разложения

комплексные постоянные, характеризующие однородное напряженное состояние на бесконечности,

где главные напряжения, причем напряжения направлены под углом 7 к оси действительная постоянная С, обусловленная вращением на бесконечности, не влияет на распределение напряжений.

Рис. 2.