4. Эллиптическая пластина с круговым отверстием и краевыми трещинами

В начале данной главы получены сингулярные интегральные уравнения первой основной задачи плоской теории упругости для кольцевой пластины с трещинами, ограниченной внутренним круговым и произвольным внешним контурами. В параграфе 3 подробно рассмотрено круговое кольцо с краевыми радиальными трещинами. Ниже, пользуясь этим же приемом, изучим упругое равновесие эллиптической пластины с одной или двумя радиальными трещинами, выходящими на внутреннюю круговую границу, при действии сосредоточенных сил на замкнутых граничных контурах.

Сжатие внешней границы сосредоточенными силами [108]. Пусть на контуре вдоль линии расположения трещин приложены две равные по величине сжимающие силы а внутренняя граница и берега трещин свободны от нагрузок (рис. 78, ). Пластина ослаблена одной или двумя равными радиальными

трещинами длиной I вдоль оси выходящими на внутренний край области Примем параметрическое уравнение эллипса в виде

где полуоси эллипса. В случае двух коллинеарных трещин в предположении симметрии нагрузки и области относительно оси задача приводится к двум сингулярным интегральным уравнениям такой же структуры, что и для одной трещины.

Для решения такой задачи имеем систему интегральных уравнений (7.47) с гладкими правыми частями, причем в выражении (7.45) для функции следует заменить на а. С помощью метода механических квадратур приходим к системе алгебраических уравнений вида (7.22), последнее уравнение которой нужно заменить условием (7.32). Безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от при различных значениях параметров приведены в табл. 35 и 36, где над чертой даны результаты для одной трещины, под чертой — для двух. Анализ приведенных в этих таблицах численных данных показал, что с увеличением вытянутости эллипса

Рис. 78.

Таблица 35. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для эллиптической пластины с круговым отверстием и одной или двумя краевыми трещинами

(при фиксированных значениях , d - меньшая полуось) в направлении большей оси коэффициенты интенсивности напряжений возрастают.

Действие сосредоточенных сил на граничной окружности. Пусть на окружности в концах диаметра, перпендикулярного к линии краевых трещин, приложены две равные по величине растягивающие силы а внешний контур и берега трещин свободны от нагрузок (см. рис. ). Тогда, как и в случае кругового кольца, потенциалы имеют вид (7.41) и правые части (7.42) являются гладкими функциями, что дает возможность находить численное решение задачи методом механических квадратур. Для этого нужно решить систему алгебраических уравнений (7.22), в которой правые части определяются через соотношения (7.42), а последнее уравнение системы нужно заменить условием (7.32).

Таблица 36. Коэффициенты интенсивности напряжений для эллиптической пластины с круговым отверстием и одной или двумя краевыми трещинами

По результатам вычислений построены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений от относительной длины разреза для случаев (рис. 79, кривые 1—3), (кривые 4—6), (рис. 80, кривые 1—5), (кривые Для обоих рисунков кривые 1, 4 соответствуют значению кривые 2, 5 - , кривые ; сплошные линии — данные для одной трещины, штриховые — для двух. На основании данных, приведенных в табл. 31—33, 35, 36 и на рис. 79, 80, можно заключить, что коэффициент интенсивности для кругового кольца с трещинами (при фиксированных значениях является минимальным при сжатии и

максимальным при растяжении сосредоточенными силами по сравнению с таковым для эллиптической кольцевой пластины С уменьшением параметра с увеличением ширины кольца в направлении меньшей оси эллипса) при постоянных значениях и X коэффициент интенсивности напряжений падает в обоих случаях нагрузок.

Рис. 79.

Рис. 80.

В ряде случаев эллиптической кольцевой пластины с одной трещиной установлены интервалы изменения ее длины в которых коэффициент интенсивности напряжений практически постоянный, т. е. его относительное отклонение (см. формулу (5.28)) от среднего значения на участке стабилизации не превышает нескольких процентов. Так, при действии растягивающей нагрузки . В случае сжатия кругового кольца участок стабильности выражен особенно ярко при когда Для эллиптической кольцевой пластины при сжатии стабильность для выбранных значений параметров была выявлена в случае двух трещин, в частности при Эти данные могут быть использованы при более рациональном выборе геометрических параметров образцов для испытаний материалов на трещиностойкость.