3. ЧТО ТАКОЕ СИЛА?

Слово «закон», употребляемое в научной литературе, вряд ли является удачным. Нам неизвестны какие-либо указы или декреты, где были бы установлены те правила, о которых мы пишем; эти правила следует считать скорее придуманными, чем открытыми. О происхождении некоторых из них нам известно из истории; о возникновении же других ничего неизвестно, так как люди, впервые их предложившие, не пожелали сообщить нам, как эти правила пришли им в голову. Однако в процессе научной деятельности непрерывно выдумываются новые правила.

Попытаемся теперь сами придумать закон сил.

В отсутствие сил тело остается в покое или равномерно движется. Как же тогда заметить действие силы? Было бы, конечно, лучше не ограничиваться фразой, что сила действует тогда, когда меняется характер движения тела, так как в таком случае закон инерции не имел бы никакого эмпирического содержания, а просто констатировал бы факт, что тело движется равномерно до тех пор, пока оно так движется. Однако даже такое утверждение нельзя считать полностью бессмысленным. Если рассматривать закон инерции как общепринятое положение, то мы всегда должны искать действие какой-то силы, как только тело изменяет характер своего движения.

Мы убеждены, что сахар не может сам высыпаться из вазы. Поэтому, если мы обнаружим, что сахар рассыпан на столе, мы начнем доискиваться, чьими руками это сделано. Наше первоначальное убеждение основано на наблюдении, что в прошлом нам всегда удавалось найти того, кто рассыпал сахар. Мы настолько в этом уверены, что даже если нам не удастся обнаружить виновника, мы скорее сочтем, что он исчез, чем предположим, что сахар высыпался сам.

К счастью, в природе не так уж много сил, и их можно различать. Действие силы мы ощущаем чаще всего, когда нас тянут или толкают. Мы можем начать с такого интуитивного представления о силе, хотя в дальнейшем мы существенно его уточним. Часто тягу или толчки, которые испытывает тело, можно связать с другими предметами, находящимися с ним в контакте: с рукой, веревкой, водой или воздухом. Кроме того, мы все чувствуем тяжесть своего тела и окружающих нас предметов, которую можно объяснить силой, действующей между Землей и всеми телами.

Договоримся, что мы умеем опознавать (идентифицировать) действие сил в реальном мире. Как же придумать математические объекты, соответствующие этим силам? Их вид зависит от тех свойств, которыми мы желаем охарактеризовать силу. Количество камешков можно описать с помощью положительных целых чисел, длину — с помощью положительных чисел (не обязательно целых). Подходит ли число для характеристики силы? Мы знаем, что испытываемые нами тяга или подталкивание могут быть более или менее интенсивными, т. е. характеризуются определенной величиной. Это свойство может быть описано числом. Однако сила имеет еще и определенное направление. Если мы хотим описать оба эти свойства (представляющие как раз наибольший интерес), то следует выбрать такой математический объект, который обладает по крайней мере этими двумя свойствами.

Введем некий математический объект, который будем называть силовой стрелкой или просто стрелкой, и обозначим его заглавной буквой со стрелкой наверху:

Более наглядно можно изображать этот объект обычной стрелкой. Ее можно нарисовать в виде отрезка прямой, начинающегося в какой-то

точке (скажем Р) и оканчивающегося острием. Такая стрелка обладает по крайней мере теми двумя свойствами, которыми мы решили характеризовать силу. Ей можно приписать определенную величину (длина) и направление. Поэтому мы говорим, что сила, приложенная в точке Р, каким-то образом связана со стрелкой, длина которой соответствует величине силы (например, 1 см отвечает силе 1 ньютон а направление — направлению силы:

Фиг. 9.

Стрелка имеет длину:

Она также имеет направление:

Введя эти стрелки, мы обязаны придумать для них определенные правила. Эти правила должны быть не только согласованными (противоречия недопустимы), но и должны соответствовать свойствам реальных сил.

Каковы же наблюдаемые свойства природных сил? Наиболее простое — возможность их сложения. Предположим, что к какой-то точке приложены две силы или больше. Можно ли их заменить одной эквивалентной? Мы знаем, что действие двух сил можно уравновесить одной.

Рассмотрим силы, приложенные, как показано на фиг. 10, к точке Р. Или взглянем на три команды, перетягивающие канат, в момент, когда

Фиг. 10.

Фиг. 11.

все игроки застыли на месте (фиг. 11). Точка Р неподвижна, следовательно, согласно закону инерции, на нее не действует сила. Поэтому силы, приложенные к этой точке и действующие через канаты и веревки (в каждом из описанных случаев на точку Р действуют три силы), должны сложиться так, чтобы суммарная сила равнялась нулю.

Таким образом, закон инерции (т. е. соглашение рассматривать равномерное движение как естественное) налагает ограничения на характер сил, нарушающих естественное движение тел. При другом выборе естественного движения (скажем, как в физике Аристотеля) правила сложения сил будут иными. Безусловное требование заключается в, том, чтобы развиваемая теория была согласована с экспериментом. В принципе допустимо много теорий такого рода, однако на деле довольно трудно построить хотя бы одну.

Поэтому мы должны установить такую операцию для стрелок, которая соответствовала бы правилу сложения сил в природе. Назовем эту операцию сложением стрелок и будем обозначать ее символом (плюс); внешне она выглядит, как обычное сложение, однако на самом деле эти операции различны. Первое правило сложения гласит, что

Сложение двух стрелок дает в результате третью стрелку, или, на языке физики, сложение двух сил дает третью силу. Подобное правило не всегда справедливо в математике или физике. Так, в результате смешения двух жидкостей можно получить твердое тело, в результате сложения дробей — целое число, а при смешивании двух ядов — безвредное вещество (например, при смешивании натрия с хлором). Таким образом, хотя утверждение — сложение двух стрелок дает в результате третью стрелку — и выглядит достаточно естественным, оно не является самоочевидным, а представляет собой правило, отражающее эмпирические свойства сил.

В качестве второго правила сложения стрелок мы предполагаем следующее:

т. е. порядок сложения стрелок несуществен, или порядок комбинирования сил в природе не имеет значения. В результате прибавления силы А к силе В получается то же, что и при прибавлении силы В к силе А:

Такое правило не всегда справедливо в математике или в природе. Так, прицеливание, а затем выстрел приводят к цному результату, чем выстрел с последующим прицеливанием; прическу следует приводить в порядок после того, как вы одели свитер. Математические объекты,

которые не подчиняются постулату II, менее известны, однако они существуют и иногда оказываются весьма полезными.

Далее предположим, что в мире стрелок существует нулевая стрелка (у нее нет длины, и она будет обозначаться символом 0), которая характеризует нулевую силу и обладает тем свойством, что добавление ее к любой стрелке не изменяет последнюю.

Таким образом, существует такая стрелка 0, что при любой стрелке А

Предположим еще, что для любой стрелки А существует обратная стрелка: , т. е.

Этот постулат отвечает опыту, так как любая сила в природе может быть уравновешена другой силой.

И наконец, последнее правило гласит, что порядок сложения трех стрелок несуществен:

т. е. результат сложения А и В с последующим прибавлением С такой же, как и при сложении сначала В и С с последующим прибавлением А.

Решим теперь более конкретную задачу. Имеются две стрелки А и В и сказано, что они суммируются; какова будет результирующая стрелка? Иными словами, если заданы величины и направления стрелок А и В, то каковы величина и направление их суммы? Предложенные выше постулаты являются математическим выражением всех качественных свойств систем сил, которые мы могли бы вспомнить, если только мы были достаточно внимательны. Как же придумать правило сложения стрелок, удовлетворяющее всем этим постулатам и отвечающее правилу сложения сил в природе?

Здесь имеются по крайней мере две возможности. Одна состоит в рассмотрении математических объектов и изобретении такого правила, которое было бы согласованным, изящным и приятным на вид. При этом нет абсолютно никакой гарантии, что физические силы будут складываться в соответствии именно с этим правилом. Тем не менее в теоретической физике бытует уверенность (не всегда, разумеется, оправданная), что польщенная природа согласится со всем поистине

изящным. Другая возможность — пойти в лабораторию (естественную) и заняться последовательным сложением нескольких сил, измеряя каждый раз величины А, В и их суммы и пытаясь обнаружить общие свойства суммы А+В. «Door Meten tot Weten» («Знание через измерение») — вот девиз лаборатории низких температур им. Камерлинга-Он-неса (в Лейдене, Голландия). Так называемые физические законы почти всегда устанавливались с помощью обоих упомянутых подходов.

Фиг. 12.

Фиг. 13.

Проводя подобные измерения, можно прикладывать к точке силы А и В, а затем подбирать такую силу С, чтобы точка Р оказывалась неподвижной (фиг. 12). Однако прежде необходимо более точно договориться о соответствии между реальной силой и изображающей ее стрелкой. Пусть имеется стол, блок без трения и небольшой груз, подвешенный за веревку (фиг. 13).

Фиг. 14. Метод выражения сил через стрелки.

Веревка натянута под действием веса, и мы предполагаем, что она действует на точку Р с силой, равной по величине весу груза и направленной вдоль веревки. Иными словами, груз в 2 ньютона воздействует силой в 2 Н, груз в 3 Н - силой в 3 Н и т. д. Кроме того, если условиться, что стрелка длиной в 1 см соответствует силе в 1 Н, то реальную систему сил на столе можно представить с помощью стрелок, как показано на фиг. 14. (Этот метод не является ни единственным, ни даже наилучшим, но он прост и не требует больших затрат времени. Что касается его эффективности, то она, как и эффективность других методов, зависит от свойств реальных сил, которые мы выясним позже. Остается открытым только

один вопрос: можно ли, идентифицируя реальные силы и связывая их, как указано выше, со стрелками, создать для них такие правила, которые отвечали бы соотношениям между этими силами?)

Из принципа инерции (тело находится в покое или движется равномерно, если на него не действует сила) мы заключаем, что

т. е. результат сложения трех сил равен нулевой силе (сила отсутствует). Добавляя—С к обеим частям равенства и воспользовавшись тем, что

имеем

следовательно, при прибавлении силы Л к В получаем силу, которая в сумме с С дает нуль.

Цель подобных измерений — накопить достаточное количество результатов с тем, чтобы выявить некоторое правило для определения величины и направления наблюдаемой силы С при заданных А и В (фиг. 15). Рассматриваемая проблема сходна с экзаменационным вопросом: «Задана последовательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, ...; требуется определить следующий член этой последовательности». Мы заранее предполагаем, что искомое решение действительно существует. Выдвигая какое-нибудь конкретное правило, мы затем используем его для «предсказания» еще не наблюдавшегося события (т. е. мы проверяем это правило).

Фиг. 15. Сила С, уравновешивающая сумму сил

Проводили мы наблюдения или нет, в конце концов мы должны поразмышлять, так как известно, что никакие, даже весьма сложные наблюдения не могут дать нам готового правила. Мы надеемся, что, используя результаты проведенных опытов (или вспоминая те свойства сил, которые нам известны из повседневной жизни), нам удастся так ограничить количество возможных правил, что из оставшихся мы сможем подобрать, скажем на основании эстетических соображений, одно самое подходящее.

Весьма разумно предположить, что при сложении двух сил, равных по величине, но направленных в противоположные стороны, результирующая сила равна 0 (т. е. сила отсутствует). Следовательно,

если стрелка А имеет вид

а стрелка — А имеет вид

то

Представим теперь две силы, действующие в одну сторону. Предположим, что они складываются как числа; это предположение согласуется, видимо, с тем, что мы наблюдаем на опыте. Так, два мальчика одинаковой силы, тянущие что-нибудь в одном направлении, создают, очевидно, усилие, вдвое большее, чем каждый из них. Таким образом,

или, с некоторой степенью уверенности,

Следовательно, разумно допустить, что стрелки, расположенные вдоль одной прямой, складываются, как обычные числа или как две приложенные друг к другу линейки: величина суммы равна сумме их длин, а направление совпадает с исходным.

Используя это допущение, можно ввести правило умножения стрелки на число:

Мы согласились, что сумма

является стрелкой, у которой:

длина равна удвоенной длине ,

направление совпадает с направлением .

Взглянем теперь на стрелки, изображенные на фиг. они не направлены в противоположные стороны и не смотрят в одну сторону. Чему равна сумма в этом случае? Каково общее правило

сложения, дающее в частных случаях

Здесь воины теоретической физики оказываются бессильными, как те герои перед стенами Трои, глаза которых неожиданно застлал туман. Требуемое правило невозможно получить с помощью каких-либо логических умозаключений, так как данная задача неоднозначна. Приходится угадывать и рисковать. С удивлением мы обнаруживаем, что в науке, которую мы привыкли считать дочерью логики и трезвого размышления, повивальная бабка должна сама свершить акт рождения.

Будем угадывать: предположим, что две силы А и В складываются так, как показано на фиг. 17.

Фиг. 16.

Фиг. 17.

Это известное теперь правило (которое называется еще правилом треугольника или параллелограмма сил) удовлетворяет всем постулатам, выдвинутым ранее для сложения стрелок. Впервые его предложил Симон Стевин (изучавший движение двух падающих шаров), нуждавшийся в этом правиле для решения практических инженерных задач.

Стрелки, подчиняющиеся всем перечисленным правилам, являются фактически векторами т. е. такими математическими объектами, которые удовлетворяют всем упомянутым выше постулатам и правилам. Подобно тому как различные предметы (яблоки, камни, люди) можно пересчитать с помощью целых чисел, разнообразные физические объекты можно описать при помощи векторов (здесь мы рассматриваем силы; другие объекты такого рода будут введены позже).

Но теперь мы вправе спросить: верно ли полученное правило? Формально оно абсолютно безупречно. равно третьей стрелке С и равно Аналогичным образом проверяются и все остальные постулаты I—V. Следовательно, можно утверждать, что данное правило является согласованным. Однако мы могли бы ввести и много других правил, которые не привели бы к противоречиям. Когда мы пытаемся выяснить, верно ли данное правило, мы должны проверить не только его математическую согласованность (которая, безусловно, должна иметь место), но и установить, складываются ли при этом два вектора таким образом, чтобы физическая сила, соответствующая

вектору А, в сумме с силой, описываемой вектором В, давала физическую силу, представленную вектором С. Единственный способ ответить на такой вопрос — экспериментально доказать, что реальные физические силы складываются по правилу, установленному выше. Именно для решения подобных вопросов физики, как правило, отправляются в лаборатории и проводят необходимые эксперименты.

[Нетрудно представить или осуществить, например, такой эксперимент. Если имеются две силы А и В, действующие на точку Р в направлениях, показанных на фиг. 18, то можно определить (как именно — обсуждалось ранее) величину и направление силы С, которую следует приложить к точке Р, чтобы она осталась неподвижной. Полученные величины и направления следует затем сравнить с вычисленными по описанным правилам. Очевидно, они совпадут. Это совпадение — экспериментальный факт.

Фиг. 18. Проверка правила.

Таким образом, складывая символы на бумаге, можно «предсказать», какая реальная сила в состоянии уравновесить две другие физические силы. Может показаться, что написанные нами уравнения сами содержат структуру реального мира, которым можно управлять, манипулируя этими уравнениями. Здесь наиболее существен психологический аспект. Когда впервые выдвигается какое-нибудь правило, как, например, правило сложения сил, поначалу оно является пробным; затем, когда с его помощью в течение многих лет удается успешно строить здания и мосты, оно превращается в закон природы. И мы слышим: «Силы — это векторы». Конечно, силы — не векторы, силы суть силы; однако сопоставление с векторами оказалось настолько плодотворным, что различие между этими понятиями существенно поблекло. Возможность сидя за столом точно предсказывать прочность стального троса, необходимую для поддержания опоры еще не построенного моста, — вот та почти волшебная мощь, которая создает у нас окончательную уверенность, что сила есть вектор.