РАВНОМЕРНОЕ КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рассмотрим теперь один вопрос, который сыграл в истории науки важную роль: какая требуется сила для того, чтобы тело вращалось по окружности с постоянной скоростью. Аристотель мог бы сказать: если тело небесное, то никакой силы не нужно, так как естественное движение небесных тел — вращение вокруг центра Вселенной. Однако если считать, что небесное тело состоит из земного вещества, то, согласно послегалилеевской физике, его естественное движение состоит в движении по прямой линии с постоянной скоростью. Поэтому, чтобы заставить тело вращаться по кругу, к нему необходимо приложить силу.

Прежде всего выясним: чему равно ускорение тела, движущегося по кругу радиуса с постоянной скоростью

Фиг. 38.

Вектор скорости тела не постоянен (он направлен вверх в точке 1 и вниз в точке 2), поэтому по определению тело ускоряется (фиг. 38).

Вычислим, например, ускорение за полкруга (точки 1 и 2 на чертеже). Среднее ускорение за время по определению равно:

причем в нашем случае

Этот вектор направлен вниз его величина равна , а время прохождения телом половины круга равно . Таким образом, величина вектора среднего ускорения равна

и направлен он вниз.

Сделаем небольшое отступление по вопросу об изменении вектора скорости движущейся частицы (фиг. 39). Будем складывать векторы, перемещая их в пространстве (изобразим так, чтобы его начало помещалось на конце вектора

Фиг. 39.

Это согласуется с правилом сложения векторов в том же духе, как, например, добавление 30 яблок, лежащих в бочке, которая стоит у двери, к 50 яблокам, находящимся в бочке у печи, дает

(Где? Очевидно, в запасе!)

Когда мы прибавляем вектор нам безразлично, к каким точкам пространства относятся эти скорости. Нас интересует только изменение скорости частицы (при ее перемещении в пространстве). Следовательно, можно сказать, что

В случае же сил, с помощью которых нам удалось ввести понятие векторов, приложенных к одной точке (как в случае яблок, которые берутся из одной и той же бочки), подобного вопроса не возникает.

Выражение (4.11) является приближенным, но оно позволяет представить, как должен выглядеть точный результат. Более точную формулу можно получить таким же образом, как и при выводе (4.11), с той лишь разницей, что временной интервал мы сделаем достаточно малым. Мы надеемся, что при уменьшении интервала полученное ускорение в конце концов перестанет зависеть от точного значения Оказывается, что эта надежда оправдана.

Вычисление при стремлении к нулю.

За небольшой промежуток времени тело, находившееся в положении переместится в положение 2, совершив поворот на угол Этот угол равен пройденному телом отрезку дуги, деленному на радиус окружности (см. приложения, стр. 432). Длина дуги (совпадающая с расстоянием, на которое переместилось тело) равна скорости, умноженной на время:

Угол понадобится нам при определении вектора поскольку он равен углу между (из правила сложения векторов следует, что вектор параллелен

Фиг. 40.

Представим теперь, что являются двумя радиусами окружности (фиг. 40) с центром в точке О и радиусом, равным (векторы имеют одинаковые длины, так как скорость тела не меняется по величине). Длина дуги, заключенной между векторами равна

В пределе очень малых промежутков времени, т. е. при

длина дуги совпадает с длиной хорды. Справедливость последнего утверждения, которое имеет строгое доказательство, можно достаточно наглядно проиллюстрировать с помощью хорошего чертежа.

Но длина хорды равна по определению величине вектора Поэтому величина ускорения при (когда дуга совпадает с хордой) равна

Направление вектора ускорения такое же, как у вектора который, как видно из фиг. 41, в пределе смотрит от тела в центр окружности.

Фиг. 41.

Фиг. 42.

За исключением множителя выражение (4.15) совпадает с приближенным выражением, полученным для среднего ускорения тела за полкруга. Таким образом, тело, движущееся по кругу с постоянной скоростью, испытывает ускорение, направленное к центру и равное (фиг. 42). Отметим, что ускорение перпендикулярно скорости. Этот результат, имеющий важное значение в теории движения планет, был впервые получен Гюйгенсом [10] и Ньютоном [11]. Он является прямым следствием определения вектора ускорения в случае равномерного кругового движения.

Используя второй закон Ньютона, можно сразу же получить выражение для силы, необходимой для поддержания кругового движения тела:

Сила направлена от тела к центру окружности. Отсюда, в частности, следует, что планета будет обращаться вокруг Солнца по круговой орбите с постоянной скоростью, если сила направлена от планеты к Солнцу.

Найденные выражения служили основными рабочими формулами, с помощью которых Ньютон пытался понять движение планет. Проблема движения планет, занимавшая умы астрономов в течение 2000 лет, превратилась во времена Ньютона в прикладную научную задачу. Она была идеальной областью для применения ньютоновских законов, и можно сказать, что решение проблемы движения планет с помощью теории Ньютона было высшим достижением науки семнадцатого века. В земных условиях вопрос о силах осложняется тем, что действующие на Земле разнообразные силы (трение, сопротивление воздуха, притяжение, толчки, рывки и т. д.) обычно выступают в сложной комбинации. Не будь этой четко поставленной и решенной проблемы движения планет, было бы трудно говорить о каких-нибудь достижениях теории Ньютона. Без нее законы движения Ньютона, его взгляд на мир могли бы показаться ничуть не лучше, чем, скажем, воззрения Аристотеля, также имевшие определенные успехи. Обратимся поэтому к проблеме движения планет, окончательно сформулированной в трудах Кеплера.