9. СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА

«ЭЛЕМЕНТЫ» ЕВКЛИДА

Геометрия, подобно латыни, с течением веков стала синонимом испытания юного поколения и свидетельством бесчеловечного отношения к нему со стороны взрослых. Много утекло воды с тех пор, как Платон начертал на дверях своей Академии: «Да не войдет никто, не знающий геометрии», или Эдна Винсент Миллей написал: «Только Евклид видел красоту в пустоте» [1]. Что же содержится в элементах Евклида, если они стали образцом для науки Галилея и Ньютона и философии Декарта, почему они, являя собой драгоценный пример математической и физической систем, остаются загадкой для школьников, у которых упоминание имени Евклида вызывает лишь болезненное ощущение?

Во времена, когда мир был полон неопределенности, геометрическое доказательство считалось примером истинного доказательства. Диспуты на рыночной площади возникают из ничего и кончаются ничем. В политических спорах победа достается то одной, то другой стороне, порхая между ними подобно бабочке, не находящей безопасного места для отдыха. Но в геометрии стоит только признать постулаты, как из них с неотвратимостью следует вся теория. Говоря словами учебника геометрии, «каждое доказательство состоит из ряда утверждений, каждое из которых имеет строгое обоснование». Казалось, что с помощью такого метода можно достичь определенности.

Конечно, такого рода определенность содержалась не только в геометрии, но и, например, в силлогизмах Аристотеля. Не вызывает сомнений следующее заключение: так как все люди смертны, а Сократ — человек, следовательно, Сократ тоже смертен. Однако, хотя силлогизм и содержит определенность, в нем нет ничего неожиданного. Если допустить правильность двух первых утверждений, то третье последует

само по себе. Если же принять пять постулатов Евклида, начинающихся словами: «Допустим, что можно 1) соединить две любые точки прямой линией» и заканчивающихся знаменитым постулатом о параллельных прямых, то мы получим такие неочевидные (нетривиальные) следствия, что сумма углов треугольника равна 180° или что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. Очевидно, именно этот элемент неожиданности и составляет наиболее привлекательную черту геометрии Евклида. Создается впечатление, что определенность может быть достигнута здесь нетривиальным образом.

Отмечая заслуги Евклида, стоит напомнить, что в большей части соотношения в его геометрии были впервые получены не им самим, а его предшественниками, вероятно, во время измерений земельных участков. Поэтому «Элементы» Евклида следует считать не началом, а кульминацией чуть ли не тысячелетних исследований по геометрии. Другие до него доказали отдельные теоремы или целые цепочки из них. Задолго до Евклида было известно, что сумма углов треугольника равна 180°. И, конечно, Пифагор, живший по крайней мере за 300 лет до Евклида, знал, что сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы.

Для завершения геометрии требовалось только показать (это и удалось Евклиду), что все эти известные и разнообразные соотношения вытекают как следствия определенных и очень простых предположений. Подумав, можно заключить, что в таком случае эти предположения должны содержать в себе всю структуру геометрии в целом. Евклид как раз и раскрыл эту структуру, т. е. внутреннюю связь между отдельными теоремами и между постулатами и всеми теоремами.

Он начинает с 23 определений, в которых пытается описать изучаемые им объекты. Эта попытка не совсем успешная. Например, Евклид говорит (определение 1): «Точка — это то, что не имеет частей», или (определение 2): «Линия — это длина без ширины». А в четвертом определении, смысл которого не удалось понять до сих пор, он утверждает: «Прямая — это линия, которая лежит равномерно со своими точками». И так далее до определения 23: «Параллельные линии — это прямые, лежащие в одной плоскости, которые, будучи продолжены в обе стороны до бесконечности, никогда не пересекаются». Если все эти определения не покажутся читателю до конца ясными, то в этом винить его нельзя, так как сами математики потратили два тысячелетия для выяснения их смысла. Далее Евклид просит всех согласиться с пятью постулатами, говоря: «Допустим, что можно 1) соединить две любые точки прямой линией» и т. д. Затем следуют 5 аксиом: (1) предметы, равные одному и тому же предмету, равны между собой; (2) если равные количества добавить к равным, то целые будут равны; и так далее до (5) целое больше своей части. Эти аксиомы, или общепринятые

положения, отличаются от постулатов тем, что они представляют собой соглашение о том, как понимать используемый язык (такие слова, как «равно», «добавить», «вычесть» и т. д.). Аксиомы в отличие от постулатов, относящихся только к геометрии Евклида, распространяются, очевидно, на любые системы (это отличие впервые отметил Аристотель). Так как Евклид просит согласиться с его постулатами, то, вероятно, можно от них отказаться и заменить их другими.

Вся система возводится на основании этих правил и аксиом, или, как говорится в учебнике геометрии, «каждое положение базируется на аксиоме или постулате, или на ранее доказанной теореме». Сумма углов треугольника равна 180°, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы; эти и все остальные теоремы геометрии вытекают с определенностью, не вызывающей ни малейшего сомнения. Именно эта определенность, свойственная геометрии, возбудила надежды философов и других ученых достигнуть во всем такой же определенности. Например, Декарт писал:

«Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же последовательности» [2].

Но хотя сама структура геометрии кажется ясной, в отношении смысла ее определений и постулатов высказывались самые различные мнения. Являются ли они, как сказал бы Декарт, чем-то таким, «что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не сможет дать повод к сомнению» [3]? Или, как выразился бы Аристотель, они являются «чем-то, что вразумительно и внутренне известно»? Или они, как заявлял Иммануил Кант, суть «положения, повсеместно признанные достоверными... и тем не менее независимые от опыта» [4]? Если же нет, то спрашивается: в каком смысле мы должны принимать их или отказываться от них?