УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА КАК СЛЕДСТВИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

Представим, что идеальный газ, находящийся в сосуде, состоит из большого числа частиц массы находящихся в движении (фиг. 378).

Фиг. 378.

Для простоты будем считать, что сосуд представляет собой куб со стороной, равной и попытаемся определить давление (силу, действующую на единицу площади) на стенки сосуда, обусловленное ударами газовых частиц об эти стенки.

Когда частица сталкивается со стенкой, изменение ее импульса в процессе соударения происходит под действием силы, приложенной к частице со стороны стенки, численно равной силе (но противоположно направленной относительно нее), с которой частица действует на стенку. Рассмотрим частицу массы движущуюся к стенке со скоростью по прямой, нормальной к стенке (фиг. 379).

Фиг. 379.

Допустим, что эта частица сталкивается со стенкой и отскакивает в точности назад. Изменение ее импульса равно конечному импульсу минус начальный

Если предположить, что соударение частицы со стенкой упругое (т. е. кинетическая энергия в процессе столкновения сохраняется), то можно заключить, что конечная скорость равна по величине начальной, тогда как направление скорости изменяется на обратное, так что

Поэтому

Изменение импульса, происходящее у стенки за 1 с из-за столкновений частиц со стенкой, равно (изменение импульса при одном столкновении) X (количество столкновений в секунду). Рассмотрим столкновения о правую стенку сосуда, изображенного на фиг. 381, и будем для простоты считать, что скорость частицы нормальна этой стенке и частица носится взад и вперед между двумя противолежащими стенками.

Фиг. 381.

Число столкновений в секунду определяется 1) скоростью частицы и 2) расстоянием, проходимым частицей между двумя столкновениями, равным удвоенному расстоянию между стенками. Время между столкновениями равно пути деленному на скорость частицы:

Число столкновений в секунду равно 1/(время между столкновениями) (так, если время между столкновениями равно 1/10 с, то за 1 с происходит 10 столкновений):

Тогда величина изменения импульса за секунду из-за столкновений частиц с правой стенкой сосуда равна

Это уже удивительный результат. Заметим, что величина Изменения импульса за секунду пропорциональна (удвоенной кинетической энергии). Это случилось из-за того, что скорость входит как в выражение для изменения импульса, так и в выражение для числа столкновений в секунду.

Если в сосуде находится молекул, то величина изменения импульса за секунду у одной стенки, обусловленная столкновениями молекул, равна произведению на выражение (26.17), или

Какая должна действовать на частицы сила со стороны стенки, чтобы произошло такое изменение их импульса? Если мы определим ее, то мы тем самым определим и силу, с которой молекулы действуют на стенку, т. е. сможем вычислить давление. Для этого нужно лишь обратиться ко второму закону Ньютона:

Сила, с которой стенка действует на молекул в течение 1 с, испытывает очень сильные флуктуации — ведь данная частица может находиться, а может и не находиться в контакте со стенкой. Из-за того, что иястиц очень много и движутся они чрезвычайно быстро, можно считать, что на стенку падает всегда почти постоянный поток частиц. Хотя число частиц, сталкивающихся со стенкой, испытывает очень быстрые флуктуации, при макроскопических измерениях мы наблюдаем некую среднюю силу в течение достаточно длинного интервала времени, скажем в течение 1 с. Поэтому вместо вычисления мгновенного значения силы, быстро изменяющегося со временем, мы определяем среднюю силу, которую мы считаем постоянной в течение 1 с (фиг. 382).

Фиг. 382. Площадь под кривой .

Наши приборы регистрируют обычно среднюю силу. Они не могут отличать мгновенные значения силы, так как последние испытывают слишком быстрые флуктуации.

Предположим, что на ветровое стекло машины падает поток града (фиг. 383). Град действует на стекло с силой и отклоняет его назад. Хотя сила, действующая на стекло, быстро изменяется со временем, стекло остается практически неподвижным, что говорит о действии на него некоей средней силы со стороны града. Поскольку инерция стекла

слишком велика, чтобы успевать реагировать на флуктуации силы, стекло остается практически неподвижным.

Поэтому мы напишем:

Мы получили количественное соотношение между скоростью частиц, их числом и массой и силой, действующей на частицы со стороны стенки, или, что то же самое, силой реакции, с которой частицы действуют на стенку.

Фиг. 383.

Когда такая система частиц заключена в сосуд, частицы, непрерывно сталкиваясь со стенками сосуда, действуют на них с некоей средней силой, иными словами, оказывают на стенки давление.

Частицы могут лететь к стенке не под прямым углом, а их скорости не обязательно одинаковы. Однако эти дополнительные усложнения принципиально не изменяют полученный результат. Чтобы учесть первую возможность (скорость направлена под углом к правой стенке), следует рассмотреть лишь ту компоненту скорости, которая перпендикулярна стенке. Обозначим ее через Тогда можно считать, что частица движется от стенки к стенке со скоростью одновременно совершая боковые перемещения. Но эти боковые движения не волнуют нас, поскольку они (как и в случае отражения теннисных мячей) не оказывают влияния ни на величину импульса, передаваемого частицами правой стенке, ни на количество столкновений частиц в секунду с этой стенкой. Величина силы, приложенной к правой стенке, Эта же сила приложена и к другим стенкам сосуда (но в соответствующие выражения будет входить не или . В среднем квадрат скорости в одном направлении равен квадрата полной скорости, так что на стенку будет действовать

Таким образом, величина средней силы определяется не скоростью частиц в каком-то одном направлении, а их полной скоростью.

Этот результат можно получить, если воспользоваться соотношением

и предположить, что в среднем

Тогда

Если частицы обладают различными скоростями, то следует заменить на где есть сумма квадратов скоростей частиц, деленная число частиц:

Давление Р на стенку равно величине силы деленной на площадь А этой стенки, т. е.

Отсюда

Но есть V — объем сосуда, поэтому

Вспоминая, что кинетическая энергия равна соотношение (26.27) можно записать в виде