2. СОВЕРШЕННО НОВАЯ НАУКА «ДЕНЬ ТРЕТИЙ» О МЕСТНОМ ДВИЖЕНИИ (DE MOTU LOCALI)

Мы создаем совершенно новую науку о предмете чрезвычайно старом. В природе нет ничего древнее движения, и о нем философы написали томов немало и немалых. Однако я излагаю многие присущие ему и достойные изучения свойства, которые до сих пор не были замечены либо не были доказаны» [1].

Эти слова, принадлежащие Галилею, сказаны им в 1638 г.; в трактате, написанном в виде беседы между Сальвиати, отстаивающим точку зрения автора, нейтральным и непредубежденным Сагредо и Симпличио, выражающим традиционные взгляды, Галилей так сформулировал основы науки механики:

«Некоторые более простые положения нередко приводятся авторами; так, например, говорят, что естественное движение падающего тяжелого тела непрерывно ускоряется. Однако в каком отношении происходит ускорение, до сих пор не было указано; насколько я знаю, никто еще не доказал, что пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собою, как последовательные нечетные числа. Было замечено также, что бросаемые тела или снаряды описывают некоторую кривую линию; но того, что линия эта является параболой, никто не указал. Справедливость этих положений, а равно и многих других, не менее достойных изучения, будет мною в дальнейшем доказана; тем открывается путь к весьма обширной и важной науке, элементами которой будут эти наши труды; в ее глубокие тайны проникнут более проницательные умы.

Наш трактат распадается на три части. В первой мы рассматриваем единообразное, или равномерное, движение. Во второй мы описываем естественное ускоренное движение. В третьей речь идет о принужденном движении, или о движении брошенных тел.

О РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ

Прежде всего нам необходимо определить движение равномерное, или единообразное.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Движением равномерным, или единообразным, я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собою.

пояснение

К существовавшему до сего времени определению (которое называю движением равномерным просто при равных расстояниях, проходимых в равные промежутки времени) мы прибавили слово «любые», обозначая тем какие угодно равные промежутки времени, так как возможно, что в некоторые определенные промежутки времени будут пройдены равные расстояния, в то время как в равные же, но меньшие части этих промежутков пройденные расстояния не будут равны» [2].

Определим скорость тела как отношение пройденного им пути к затраченному на это времени:

При равномерном движении скорость постоянна, так как пути, пройденные частицей за любые равные промежутки времени, равны между собой (вспомним пояснение Галилея).

Фиг. 2.

Фиг. 3.

Кроме того, мы подразумеваем, что направление движения не меняется. Такое равномерное движение — с постоянной скоростью и неизменным направлением — является естественным движением в новой физике. Любая неравномерность будет приписываться действию силы.

Если скорость не меняется со временем и сохраняет постоянное значение т. е.

то ее зависимость от времени можно изобразить на графике горизонтальной прямой (фиг. 2). Мы видим (частный случай общего правила, которое будет получено позже), что длина пути, пройденного движущимся с Постоянной скоростью телом, численно равна площади фигуры, находящейся под кривой (в данном случае под прямой, фиг. 3):

Можно привести совершенно тривиальные примеры полученного

правила. Так, автомобиль, движущийся равномерно со скоростью 30 км/ч, проходит за полчаса 15 км. Пуля, летящая со скоростью 1000 м/с, пролетает 5 км за 5 с; ракета, движущаяся со скоростью 12 000 м/с, проходит 60 км за 5 с.

В природе редко наблюдается равномерное движение; как правило, скорость тела изменяется со временем. Можно ввести понятие средней скорости тела за любой промежуток времени:

Допустим, что тело прошло 30 см за 2 с, тогда его средняя скорость за этот промежуток времени равна

Однако тело могло при этом пройти за первую секунду 20 см, а за вторую 10 см. Следовательно, в первую секунду

а во вторую —

Если движение было равномерным в течение первого интервала времени и также равномерным (хотя и с другой скоростью) в течение второго интервала, то график зависимости скорости от времени будет выглядеть так, как показано на фиг. 4, а пройденный путь будет по-прежнему численно равен площади, находящейся под этой ступенчатой кривой (площадь на фигуре заштрихована).

Фиг. 4.

В общем случае можно представить, что скорость тела изменяется практически произвольно и ее зависимость от времени описывается кривой, представленной на фиг. 5. Такую кривую можно получить, вычисляя значения средней скорости за все меньшие и меньшие промежутки времени и изображая их на графике (в виде горизонтальных отрезков). Введем обозначения:

и

Тогда средняя скорость за время равна

Как так и можно считать обычными числами, например см или поэтому

Площадь под ступенчатой кривой равна площади под гладкой кривой стой точностью, с какой ступенчатая кривая совпадает с гладкой. Естественно ожидать, что при уменьшении величины временного интервала можно достичь желаемой точности.

Фиг. 5. Скорость как функция времени.

Это справедливо при некоторых ограничениях, налагаемых на свойства гладких кривых. Таким образом, поскольку полное расстояние, пройденное телом., равно сумме расстояний, пройденных им за первый, второй, третий и т. д. временные интервалы:

это расстояние численно равно площади всех прямоугольников, которая при уменьшении приближается к площади под гладкой кривой с любой заданной точностью.

Начиная изучение неравномерного движения, Галилей останавливается сначала на одном важном и полезном случае. Он рассматривает

Естественно-ускоренное движение

и пишет:

«... теперь же перейдем к движению ускоренному. Прежде всего необходимо будет подыскать этому естественному явлению соответствующее точное определение и дать последнему

объяснение. Хотя, конечно, совершенно допустимо представлять себе любой вид движения и изучать связанные с ним явления,... мы тем не менее решили рассматривать только те явления, которые действительно имеют место в природе при падении тел, и даем определение ускоренного движения, совпадающего со случаем естественно-ускоряющегося движения. Такое определение, найденное после долгих размышлений, кажется нам достойным доверия преимущественно на том основании, что результаты опытов, воспринимаемые нашими чувствами, вполне соответствуют выведенным из него свойствам... Отсюда и вытекает определение движения, которым мы будем пользоваться: равномерно- или единообразно-ускоренным движением называется такое, при котором после выхода из состояния покоя в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты [приращения] скорости» [3].

Подобно тому, как

можно ввести определение

Из определения равномерно-ускоренного движения, т. е. движения, при котором «в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты скорости», следует, что при таком движении ускорение постоянно и за равные промежутки времени скорость возрастает на одну и ту же величину:

Фиг. 6. Равномерно-ускоренное движение.

Галилеево равномерно-ускоренное движение есть движение по прямой линии, при котором скорость как функция времени прямо пропорциональна затраченному промежутку времени:

где а — постоянное ускорение и скорость тела в начальный момент времени На фиг. 6 представлен график зависимости скорости от времени. При более сложных движениях ускорение не обязательно постоянно, а график скорости как функции времени может иметь произвольный вид, скажем как на фиг. 5.

Далее Сагредо возражает:

«Так как мой ум вообще не мирится с различными определениями, даваемыми теми или иными авторами, поскольку они все совершенно произвольны, то я могу, никого не задевая, высказать сомнение, в самом деле ли приведенное определение, установленное совершенно отвлеченно, правильно соответствует тому ускоренному движению, которое проявляется при естественном падении тяжелых тел. А так как Автор утверждает, по-видимому, что естественное движение падающих тяжелых тел именно таково, как он его определил, то мне хотелось бы, чтобы были устранены некоторые появившиеся у меня сомнения, после чего я с большим вниманием мог бы отнестись ко всем предложениям и сопровождающим их доказательствам» [4].

Сальвиати пытается убедить Сагредо и других, что движение тела, выроненного вблизи земной поверхности, является равномерно-ускоренным. До этого Сальвиати опровергал точку зрения Аристотеля по этому вопросу, так как он был уверен в своей правоте. Далее следует обсуждение некоторых свойств равномерно-ускоренного движения. Остановимся на одном из них, представляющем наибольший интерес. Спрашивается: на какое расстояние продвинется тело за заданный отрезок времени, если оно равномерно ускоряется (т. е. если его скорость )?

Фиг. 7. Расстояние численно равно площади прямоугольника плюс площадь треугольника.

При равномерном движении расстояние в точности численно равно площади под кривой зависимости скорости от времени. Обобщим теперь этот вывод: путь, пройденный телом при равномерно-ускоренном движении (или при любом другом виде движения), численно равен площади под кривой зависимости скорости от времени. Для нахождения расстояния, пройденного равномерно-ускоряющимся телом, следует лишь вычислить эту площадь. Она равна сумме площадей треугольника и прямоугольника, изображенных на фиг. 7. Площадь прямоугольника равна что совпадает с расстоянием, пройденным телом, равномерно движущимся со скоростью . Площадь треугольника равна: . Но высота треугольника равна увеличению скорости за время из-за ускорения а. Скорость зависит от времени по закону:

откуда для увеличения скорости (конечная скорость минус начальная)

получим

Следовательно, площадь треугольника равна

Таким образом, расстояние, пройденное равномерно-ускоряющимся телом за время определяется из выражения

что совпадает с результатом, выведенным Галилеем.

Используем теперь это выражение для вывода того соотношения, о котором Галилей упоминал во введении. Предположим, что тело начинает падать из состояния покоя. В этом случае его начальная скорость равна нулю, так что

Из табл. 1 видно, как расстояние зависит от времени. Путь, пройденный телом за первую секунду, равен 1/2 а, за вторую — минус

Таблица 1

расстояние, пройденное за первую секунду, т. е. за третью — минус расстояние, пройденное телом за первую и вторую секунды ( Следовательно, расстояния, пройденные телом за равные промежутки времени, относятся друг к другу следующим образом:

т. е. эти расстояния, как писал Галилей, «... относятся между собою, как последовательные нечетные числа...».

Теперь возражает Симпличио:

«Я в достаточной мере убежден, что явление должно происходить именно так, если только принять указанное определение равномерно-ускоренного движения. Но действительно ли таково ускорение, которым природа пользуется при движении тяжелых падающих тел, остается для меня сомнительным; поэтому для поучения меня и других, мне подобных, не мешало бы теперь привести несколько опытов из числа многих проделанных, которые показали бы, что различные случаи падения тел совпадают со сделанными заключениями» [5].

На это Сальвиати отвечает:

«Вы как подлинный ученый предъявляете совершенно основательное требование; оно особенно уместно в отношении таких наук, в которых для объяснения законов природы применяются математические доказательства; таковы, например, перспектива, астрономия, механика, музыка и другие аналогичные науки; в них опыт, воспринимаемый чувствами, подтверждает принципы, являющиеся основою для всех дальнейших построений. Однако мне не хотелось бы, чтобы у вас создалось впечатление, будто мы слишком подробно остановились на первом и основном положении, на котором покоится колоссальное здание бесчисленных выводов, лишь в малой доле затронутых нашим Автором в настоящем сочинении; он сделал достаточно уже одним тем, что открыл пытливым умам запертые до сего времени двери. Что касается опытов, то Автор не упустил из виду их произвести, и чтобы убедиться в том, что ускорение естественно падающих тел происходит описанным выше образом, я много раз в обществе нашего Автора производил следующий опыт» [6].

Далее он описывает эксперимент, который проделал Галилей, чтобы доказать, что движение свободно падающего тела действительно является равномерно-ускоренным.

В этом эксперименте измерялся путь, пройденный падающим телом, в зависимости от времени падения. Следовательно, Галилей доказывал, что движение является равномерно-ускоренным, демонстрируя, что одно из следствий такого движения, а именно, что

согласуется с наблюдениями. Мы можем легко повторить опыт Галилея, воспользовавшись, однако, современной техникой фотографирования через равные промежутки времени, скажем, падающего мяча для игры в гольф (фото 1). В табл. 2 [8] приведены результаты аналогичного опыта (с падающим бильярдным шаром). Измерения проводились через каждую с. Вычисленные значения ускорения оказались одинаковыми в пределах ошибок измерений. (Последняя цифра в колонке весьма ненадежна; она получена с помощью разумной оценки

Таблица 2 (см. скан)

числа долей миллиметра.) Таким образом, мы смогли убедиться, что в пределах ошибок измерений ускорение постоянно, или что расстояние, пройденное падающим телом, равно Поэтому мы сможем повторить слова Симпличио:

«Я получил бы большое удовольствие, если бы присутствовал при подобных опытах; но вполне полагаясь на ваше умение произвести такие опыты и правильность передачи их результатов, я успокаиваюсь и принимаю последние за правильные и истинные» [9].

Постоянное ускорение, которое обозначается специальным символом вблизи земной поверхности равно

Таким образом, свободно падающее тело пролетает за 1 с 490 см, за 2 с 1960 см и так далее.