ЗАКОНЫ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ МНОГИХ ЧАСТИЦ

В основе анализа движения системы из частиц лежит единственная идея — разбивать это движение на внешнее и внутреннее. Изучая внешнее движение, мы учитываем только силы, действующие на систему извне, и не учитываем сил взаимодействия между частицами, образующими данную систему. Движение системы под действием внешних сил чрезвычайно сходно с движением отдельной частицы. Под действием же внутренних сил система может колебаться, извиваться и т. д. Мы будем обозначать внешние и внутренние силы так же, как это делали раньше. Например, типично внутреннюю силу, с которой шестая частица действует на седьмую, мы будем обозначать

В общем случае сила, с которой частица действует на будет обозначаться символом

Как и ранее, мы предполагаем, что внутренние силы являются ньютоновскими, т. е. сила, с которой, скажем, частица действует на равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой частица действует на (фиг. 145):

Основная идея выделения внутренних сил состоит в том, что сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как для любой силы на найдется сила компенсирующая первую.

Внешние силы отличаются от внутренних тем, что они вызываются чем-то, находящимся вне системы. Так, если на седьмую частицу действует йнешняя сила, то эта сила обязана своим происхождением не какой-нибудь частице системы, а чему-то внешнему — Земле, пружине и т. д., как показано на фиг. 146. В отличие от внутренних сил мы будем обозначать внешнюю силу, действующую, например, на частицу, символом

Сумма всех внешних сил, действующих на частицы системы, не обязательно равна нулю. Конечно, иногда она может обратиться в нуль, но в общем случае это не так; в этом состоит главное различие между внешними и внутренними силами. Так как внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона, их сумма, взятая по всем частицам системы, должна обязательно обратиться в нуль.

Фиг. 145.

Фиг. 146.

Движение каждой частицы определяется вторым законом Ньютона: полная сила, действующая на частицу и равная сумме всех внешних и внутренних сил, равна произведению массы частицы на ее ускорение. Оказывается возможным описать движение всех частиц таким образом, чтобы действия всех внутренних сил взаимно уничтожились и это движение определялось лишь внешними силами. Именно это утверждает:

Теорема 13.1. Изменение полного импульса системы из частиц равно произведению полной внешней силы на промежуток времени, в течение которого она действует.

(Ранее мы доказали для частного случая двух частиц, что в отсутствие внешних сил полный импульс сохраняется.)

Доказательство. Полный импульс системы из частиц

Полный импульс каждой отдельной частицы, скажем изменяется согласно второму закону:

где — полная сила, действующая на частицу и равная сумме

внутренних и внешних сил:

Смысл этого выражения состоит в следующем. Полная сила, действующая на частицу, равна сумме сил, действующих на нее со стороны других, частиц, плюс внешняя сила.

Изменение полного импульса системы равно сумме изменений импульсов отдельных частиц:

Используя (13.4), это выражение перепишем в виде

Рассмотрим теперь члены, стоящие в правой части полученного равенства. Начнем со второго. Он равен сумме всех внутренних сил, действующих на все частицы системы, а так как силы ньютоновские, он равен нулю. Проще всего показать это, если раскрыть его для случая системы из двух или трех частиц, но и в общем случае можно видеть, что для каждого слагаемого найдется член . Тогда вся сумма разобьется на сумму членов вида

Согласно третьему закону, каждый такой член равен нулю. Отсюда следует, что второе слагаемое в правой части (13.6) обращается в нуль, поскольку внутренние силы подчиняются третьему закону Ньютона. Мы будем постоянно использовать этот результат при доказательстве различных теорем, относящихся к системам из частиц. В этом, собственно, и заключается смысл разделения движения на внутреннее и внешнее. Следовательно,

т. е. изменение полного импульса пропорционально сумме только внешних сил.

Эта сумма играет в дальнейшем важную роль, и поэтому мы обозначим ее специальной буквой:

где — полная внешняя сила, или сумма всех внешних сил, действующих на различные частицы системы.

Таким образом, изменение полного импульса системы равно полной внешней силе, умноженной на время ее действия:

что и требовалось доказать.

Эту теорему можно применять для различных систем, начиная с галактик и кончая системами атомов.

Доказательство для системы из двух частиц (фиг. 147):

Фиг. 147.

Поэтому

Следовательно,