ЦЕНТР МАСС

Выделим теперь точку, связанную с телом или системой частиц и обладающую особыми и весьма интересными свойствами. Эта точка, называемая центром масс, не обязательно находится в месте положения какой-то частицы или внутри тела, а является, как правило, просто точкой в пространстве. Тем не менее можно считать, что вся система ведет себя как точечная частица, находящаяся в центре масс и имеющая массу, равную массе всей системы. В этом смысле мы можем заменять протяженные тела точечными частицами. Для системы из

частиц, массы которых равны центр масс определяется

следующим образом.

Определение:

где М — сумма масс всех частиц:

Фиг. 148.

Для иллюстрации этого определения рассмотрим систему из двух частиц с одинаковыми массами (фиг. 148). Тогда

и

Таким образом, центр масс такой системы находится посередине между двумя частицами 1). Для системы многих частиц, массы которых неодинаковы, положение центра масс совпадает с некоторым усредненным положением частиц, зависящим от распределения их масс (фиг. 149).

Фиг. 149. Вектор положения (радиус-вектор) центра масс системы частиц, умноженный на полную массу М, равен сумме произведений вектора положения каждой частицы на ее массу

Для сферической системы частиц с примерно одинаковыми массами центр масс лежит вблизи центра системы. Можно говорить о центре масс частиц, образующих газ, о центре масс шарообразного скопления звезд, двойной звезды или целой галактики (фото 5—7).

Покажем теперь, что центр масс системы из частиц ведет себя под действием внешних сил (независимо от движений отдельных частиц, образующих систему) так, как будто вся система является точечной частицей с массой расположенной в центре масс. С этой точки зрения систему многих частиц, будь она атомом или галактикой, можно рассматривать на далеких от нее расстояниях как точечную частицу.

Теорема 13.2. Центр масс системы из частиц подчиняется второму закону Ньютона в следующей формулировке:

или:

Доказательство. Из теоремы 13.1 следует, что для любой системы из частиц

или

Нам остается поэтому лишь доказать, что

что и приведет нас к нужному результату:

где - ускорение центра масс. Докажем это следующим образом. Центр масс системы определяется формулой

поэтому скорость центра масс

(мы считаем, что скорость изменения положения центра масс равна сумме скоростей изменения положений частиц, образующих систему). Следовательно,

это означает, что полный импульс системы равен произведению ее полной массы на скорость центра масс. Поэтому изменение полного импульса (для систем с постоянной массой)

Деля это выражение на временной интервал, в течение которого произошло изменение полного импульса, получаем

или

Используя полученные результаты, имеем

что и требовалось доказать.

Таким образом, с помощью этой теоремы нам удалось наделить центр масс системы из частиц свойствами одной ньютоновской частицы, масса которой равна массе системы. В отсутствие внешних сил она обладает свойством инерции, т. е. движется равномерно. Под действием же внешних сил ее движение определяется вторым законом Ньютона. Примечательно, что из двух законов движения, выдвинутых в качестве постулатов теории движения отдельных частиц, нам удалось так строго вывести теорему о движении протяженных материальных систем.

Классическим примером движения центра масс является полет по параболической орбите (это следует из второго закона Ньютона и постоянства гравитационной силы) снаряда, который взрывается, не долетев до цели (фиг. 150).

Фиг. 150.

Поскольку при взрыве действуют лишь внутренние силы, осколки снаряда разлетятся таким образом, что их центр масс будет продолжать двигаться по той же орбите . В результате в цель А «попадет» центр масс осколков снаряда (но вовсе не обязательно, что в А попадет хоть один осколок).

При изучении любой системы такого рода ее движение можно разбить на внутренние движения и движение центра масс (т. е. движение по существу одной частицы). То, что можно назвать внутренним движением, определяется в основном внутренними силами, удерживающими частицы вместе. Если такие силы в системе отсутствуют [см. пункт а) на стр. 169], а частицы удерживаются, например, лишь стенками сосуда, то эту систему можно рассматривать в качестве модели газа. Позднее мы разовьем эту идею. Если внутренние силы таковы, что частицы системы остаются жестко связанными [пункт в)], мы имеем модель твердых тел, свойства которых будут изучены ниже. Исследовать свойства промежуточных систем [пункт б)], соответствующих моделям жидкостей или желеобразных твердых тел, гораздо сложнее. Некоторого успеха здесь можно добиться с помощью теории Ньютона, однако мы в дальнейшем не будем касаться этого вопроса.

Замечание о доказательствах

Полученные результаты представляют интерес не только сами по себе, но и с той точки зрения, что они иллюстрируют метод доказательства, использующийся в математике или физике. Просматривая последнее доказательство, мы видим, что оно содержит в себе два самостоятельных аспекта: идеи, на основании которых доказывается теорема, и технические приемы, связывающие воедино эти идеи. Основные идеи данного доказательства таковы:

1) движение каждой частицы подчиняется законам Ньютона;

2) внутренние силы ньютоновские, так что, если аккуратно просуммировать все силы, внутренние силы выпадают из рассмотрения и остаются только внешние;

3) (эта идея более тонкая) сумма скоростей изменения нескольких функций равна скорости изменения суммы этих функций.

С помощью 3) нам удалось заменить суммы скоростей изменения импульсов скоростью изменения суммарного импульса. В этом состоят основные идеи доказательства.

Техническое оформление доказательства, т. е. суммирование по X и деление и умножение различных величин, можно сравнить с работой плотника, так подгоняющего всевозможные узлы и соединения, что между отдельными частями изделия не остается пустых мест.

При доказательстве теоремы или при ее осмысливании и автор теоремы, и тот, кто ее изучает, обязаны прежде всего выделить те идеи, которые необходимы для данного доказательства. Как правило, это удается сделать без особого труда, не привлекая сложную математику. Например, очень полезно доказать приведенную выше теорему для частного случая двух тел. Основной момент такого доказательства, заключающийся в суммировании всех внутренних сил, выглядит чрезвычайно простым: оказывается, что данная сумма сводится к выражению на которое, как мы договорились, равно нулю. Обобщение на случай многих тел требует большего внимания при суммировании и аккуратных вычислений, чтобы увериться в том, что результат окажется таким же, как и в случае двух тел. Не исключено, конечно, что мы можем прийти к иному результату, но это будет означать необходимость привлечения дополнительной идеи, с помощью которой можно различать системы двух и многих тел.