ЗАКОН АМПЕРА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА

Закон Ампера связывает токи с возбуждаемыми этими токами магнитными полями. Существует много форм записи закона Ампера. Почти все они очень громоздки и неудобны, так как токи и магнитные поля — векторы и при написании закона нужно учитывать зависимость полей не только от расстояния до токов, но и от направлений последних. Существует, однако, такая форма записи закона Ампера, которая особенно удобна для наших целей: она связывает циркуляцию магнитного поля по замкнутому контуру (определение циркуляции будет дано ниже) с током, протекающим через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Мы запишем сейчас закон Ампера в такой форме, а затем приведем два примера.

Фиг. 342.

Представим область пространства, в которой есть магнитное поле, и нарисуем в этой области любую замкнутую кривую (для простоты изобразим окружность, как на фиг. 342). В каждой точке кривой определено магнитное поле В. Мы поступаем следующим образом: в каждой точке кривой мы берем компоненту В, касательную к кривой в этой точке, умножаем ее на небольшой элемент кривой и складываем все произведения. Тогда, согласно закону Ампера, полученная сумма будет равна произведению на полный ток, протекающий черёз поверхность, ограниченную замкнутой кривой. Итак, в системе СГС

закон Ампера можно записать в следующем виде

Таким образом, вместо соотношения между вектором поля в какой-то точке пространства и током в другой точке мы получили выражение, связывающее циркуляцию магнитного поля по замкнутому контуру с полным током, проходящим через поверхность, ограниченную этим контуром. Подчеркнем очень важный момент: циркуляция поля по замкнутому контуру, согласно закону Ампера, равна току, проходящему через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Скоро мы оценим важность этого замечания.

Фиг. 343.

Применим полученную формулу в двух случаях, простых в математическом отношении. Сначала рассмотрим прямоугольный контур расположенный параллельно однородному во всем пространстве магнитному полю (фиг. 343). Вдоль стороны прямоугольника касательная составляющая В равна величине В, так как и В параллельны между собой поэтому вдоль этой стороны сумма равна произведению В на длину которую мы обозначим через

от а до

Вдоль стороны величина Вкаеат равна нулю, так как магнитное поле перпендикулярно этой стороне. Поэтому вдоль нее сумма обращается в нуль:

Вдоль стороны Вкасат антипараллельна направлению контура, так как мы движемся от с к а магнитное поле направлено от к с. Поэтому

вдоль нее сумма равна

И наконец, вдоль величина Вкасат снова равна нулю и

Следовательно, сумма вдоль всего контура

Отсюда мы можем заключить, что ток, протекающий через любую поверхность, ограниченную этим прямоугольником, должен равняться нулю (этот результат остается справедливым и для контура произвольной формы),

Фиг. 344.

В качестве второго примера рассмотрим магнитное поле бесконечно длинного однородного прямого провода. В этом случае магнитное поле всегда касательно окружности, центр которой находится на проводе (фиг. 344). Поскольку касательная составляющая магнитного поля в любой точке окружности равна величине поля, мы получим

Согласно закону Ампера, эта величина равна произведению на ток, протекающий по проводу:

откуда для величины поля имеем

что совпадает с ранее полученным выражением.

То, что такая форма записи закона Ампера оказывается очень удобной для вычисления магнитных полей некоторых симметричных токовых систем, для нас не очень существенно. Наше внимание привлекает тот факт, что при такой записи связывается циркуляция поля

вдоль замкнутого контура с током, протекающим через совершенно произвольную поверхность, ограниченную этим контуром. Это означает, что токи, текущие через разные поверхности, но ограниченные одним и тем же контуром, равны между собой. Покажем это, снова обратившись к только что рассмотренной задаче о магнитном поле вокруг провода.

Фиг. 345.

Изобразим две поверхности, каждая из которых ограничена одним и тем же контуром (фиг. 345). Более нагляден вид сбоку, как показано на фиг. 346. Эти две поверхности (поверхность 1 и поверхность 2) ограничивают некий объем.

Фиг. 346.

Из закона Ампера следует, что ток, входящий через поверхность 7, равен току, выходящему через поверхность 2.

Теперь нам становится ясной связь между законом Ампера и законом сохранения заряда, ибо последнее утверждение может быть справедливым только в том случае, если количество заряда, втекающего в объем, ограниченный поверхностями 1 и 2, равно количеству заряда, вытекающего из этого объема. Иными словами, если полный заряд в объеме сохраняется, количество втекающего в объем заряда должно равняться количеству вытекающего из него заряда при условии, что заряды не возникают и не исчезают внутри объема.

Фиг. 347.

Представим, однако, что вместо бесконечно длинного провода мы имеем дело с проводом, подсоединенным к шару, на котором накоплен заряд (фиг. 347). В этом случае, вычисляя циркуляцию магнитного поля вдоль контура, ограничивающего поверхности У и 2, мы получаем величину, мало чем отличающуюся от циркуляции магнитного

поля вокруг бесконечно длинного провода. (Для нас не очень существенно, точно или не совсем точно они равны друг другу. В принципе мы могли бы приблизиться к величине циркуляции вокруг бесконечно длинного провода с любой желаемой точностью.) Ток, проходящий через поверхность 2, есть просто ток, текущий по проводу. Через поверхность 1, однако, ток не течет. (Собственно говоря, именно этим мы и руководствовались, выбирая поверхность 1.) Причина этого ясна. Ток возникает из-за потока зарядов от положительно заряженного шара к отрицательно заряженному, поэтому в объеме, ограниченном поверхностями 1 и 2, полный заряд уменьшается. Здесь мы столкнулись со случаем, когда заряд сохраняется, а ток в цепи не является непрерывным. Закон же Ампера в той форме, как мы его написали, требует, чтобы ток был непрерывным, т. е. чтобы через поверхность 1 тоже протекал ток.

Именно на этом пункте сосредоточил свое внимание Максвелл. Он писал:

«Я пытаюсь найти точное математическое выражение всему, что известно об электромагнетизме, без помощи каких-либо гипотез и установить, какие видоизменения формулы Ампера возможны, не противоречащие его выражениям» [5].

Рассмотренный выше случай существенно отличается от тех явлений, с которыми имел дело Ампер в своей лаборатории. Ампер измерял силу, с которой действует один провод на другой, когда по ним протекают постоянные токи. В рассмотренном же примере ток не будет постоянным. Заряд будет перетекать от одного шара к другому, а затем обратно, и его движение будет напоминать движение маятника, качающегося из стороны в сторону. Максвелл прекрасно понимал это различие. Он писал:

«Однако следует помнить, что мы не имеем возможности производить опыты над отдельными элементами тока, а производим их всегда только с замкнутыми токами в твердых или жидких проводниках; следовательно, из таких опытов мы можем выводить законы взаимодействий лишь замкнутых токов» [6].

Он понял, что закон Ампера был получен для замкнутых токов, и поставил вопрос о том, что произойдет, если ток будет незамкнутым. Описывая фарадеево так называемое «электротоническое состояние», Максвелл использует «уравнение неразрывности для замкнутых токов» и пишет:

«Поэтому наше исследование ограничивается пока замкнутыми токами, и мы мало знаем о намагничивающем действии незамкнутых токов» [7].

Сейчас мы, конечно, могли бы уверенно утверждать, выяснив противоречие в исходных постулатах теории, что закон Ампера применим только в случае постоянных и замкнутых токов. Однако без того

наглядного анализа, который был проведен нами выше, мы вряд ли бы стали сомневаться в том, что закон Ампера в форме, данной самим Ампером, справедлив как в случае замкнутых, так и незамкнутых токов. Как правило, постулаты, которые мы выдвигаем, обладают гораздо большей общностью, чем тот опыт, из которого эти постулаты отбираются, при этом считается естественным применять их даже в условиях, в которых прямые опыты еще не ставились. Гениальное предвидение как раз и состоит в том, чтобы увидеть, где именно мы заходим в этом слишком далеко.

Фиг. 348.

Максвелл предположил, что в закон Ампера следует добавить еще один член, который играет существенную роль, лишь когда токи изменяются очень быстро. Этот член, названный Максвеллом током смещения и исчезающий при тех условиях, при которых Ампер проводил свои измерения, устраняет противоречие между законом Ампера и законом сохранения заряда, приводя уравнения электричества и магнетизма к симметричному виду, ибо этот член описывает возникновение магнитного поля под действием переменного электрического поля. Пройдя через руки Максвелла, закон Ампера принял следующий вид:

Электрический поток определяется точно так же, как и магнитный поток, за исключением того, что вместо В надо брать Е. В простейшем случае, когда электрическое поле однородно и нормально площадке, электрический поток равен просто произведению величины поля на соответствующую площадь (фиг. 348).

Об этом токе смещения Максвелл писал:

«Проводящее тело может быть сравнено с пористой мембраной, которая представляет большее или меньшее сопротивление прохождению жидкости, диэлектрик же похож на упругую мембрану, которая непроницаема для жидкости, но передает давление от жидкости, находящейся на одной ее стороне, жидкости, находящейся на другой стороне... Мы можем полагать, что в диэлектрике, находящемся под действием индукции, электричество в каждой молекуле смещено так, что одна сторона молекулы становится наэлектризованной положительно, а другая отрицательно, но что электричество остается полностью связанным с молекулой и не переходит от одной молекулы к другой... тогда естественно приходит на ум аналогия упругого тела,

уступающего давлению и затем принимающего первоначальную форму, после того как давление устранено» [8].

Вероятно, впервые Максвелл ввел понятие тока смещения в части 3 своей работы «О физических силовых линиях», опубликованной в январском и февральском выпусках за 1862 г. журнала «Philosophical Magazine». В Предложении XIV, озаглавленном «Видоизменить уравнение электрических токов, учитывая действие, обусловленное упругостью среды», Максвелл утверждает, что «изменение смещения эквивалентно току, следовательно, этот ток должен быть принят во внимание...» [9]. Часто события, которые позднее оцениваются как поворотные пункты истории, не осознаются полностью в моменты их свершения (так, катастрофа в Сиракузах, приведшая к падению Афин, была вызвана пьяной оргией и разрушением нескольких статуй).

Максвелловская модификация закона Ампера привела к тому, что уравнения электромагнетизма стали непротиворечивыми. Ибо, даже если ток, протекающий через поверхность, равен нулю, циркуляция касательной составляющей магнитного поля по замкнутому контуру может не обращаться в нуль при условии, что поверхность пересекает переменное электрическое поле, как, например, в случае поверхности 1 на фиг. 347. Хотя через эту поверхность ток не течет, ее пересекает переменное электрическое поле, возбуждаемое при выходе положительного заряда из шара. Подробности этого явления обсуждаются ниже.

Фиг. 349.

Через поверхность (фиг. 349) ток не течет; тогда с учетом максвелловского тока смещения закон Ампера для этой поверхности можно записать в следующем виде:

Величина потока электрического поля через сферическую поверхность 1 дается выражением

(мы можем пренебречь различием между площадью поверхности 1 и площадью сферы).

Тогда величина скорости изменения электрического потока, пересекающего поверхность 1, умноженная на равна

что совпадает с величиной

где — ток в проводе (заряд, выходящий из шара, протекает по проводу).

Фиг. 350.

Поэтому мы можем утверждать, что «ток смещения» [определяемый как , протекающий через поверхность 7, равен «току проводимости», проходящему через поверхность 2 (фиг. 350).

В то же время

(расчет этой величины такой же, как и в предыдущем примере). Поэтому мы снова имеем для величины В:

Структура уравнения (22.10) такова, что, вычислив изменение электрического поля при вытекании заряда из шара, можно установить, «что величина (скорость изменения электрического потока) совпадает с величиной (ток, вытекающий с другой стороны через поверхность — это одна из причин, почему Максвелл назвал введенный им член током смещения. Уравнения электромагнетизма стали симметричными: из закона Фарадея следует, что переменное магнитное поле порождает электрическое поле, а теперь, после введения Максвеллом тока смещения, можно утверждать, что и переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле.

По различным чисто техническим причинам эффекты тока смещения очень трудно наблюдать, пока скорость изменения полей не становится очень большой; понадобилось 20 лет, прежде чем Герцу, уже после смерти Максвелла, удалось получить первое экспериментальное подтверждение теории Максвелла.

После работ Максвелла стало возможным сформулировать уравнения для электрических и магнитных полей в виде, эквивалентном следующим шести утверждениям.

1. Электрическое поле, соответствующее какому-либо распределению заряда, определяется из закона Кулона.

2. Магнитные заряды не существуют.

3. Закон Фарадея: переменное магнитное поле возбуждает электрическое поле.

4. Закон Ампера, подправленный Максвеллом: магнитное поле возбуждается токами и переменными электрическими полями.

0. Заряд сохраняется.

5. Электрическое и магнитное поля действуют на заряды с силой, определяемой формулой Лоренца.

Вовсе не стремясь к тому, чтобы дать исчерпывающую информацию, а скорее для того, чтобы удовлетворить естественное любопытство, выпишем уравнения электродинамики в том виде, в каком они используются физиками в настоящее время. Мы сделаем это без объяснения обозначений, просто чтобы показать, как компактно записывается все, что мы знаем об электрических и магнитных силах, об электрических и магнитных полях и обо всех электрических и магнитных явлениях:

Утверждение (0), т. е. закон сохранения заряда, уже не является независимым. Оно следует из (1) и (4). Таким образом, теория

электромагнетизма основывается на пяти постулатах: утверждения (1), (2), (3) и (4) характеризуют электрические и магнитные поля, возбуждаемые зарядами и токами, а (5) - силы, с которыми действуют эти поля на движущиеся или неподвижные заряды.

В своих более ранних работах Максвелл развивал электромагнитную теорию с помощью наглядных механических моделей, интерпретируя различные электрические явления как напряжения, натяжения и вихри в упругой среде. Он писал:

«Я намереваюсь теперь рассмотреть магнитные явления с механической точки зрения и исследовать, какие напряжения или движения среды способны вызвать наблюдаемые явления. Если при помощи этой же гипотезы мы могли бы связать явления магнитного притяжения с электромагнитными явлениями и с явлениями индуцированных токов, то в этом случае мы нашли бы теорию, может быть даже и неправильную, однако ложность которой могла бы быть доказана только при помощи экспериментов, значительно расширяющих наши познания в этой области физики» [10].

Но одни только вихри существовать не могли, ибо сразу же возникал вопрос: каким образом эти вихри могут существовать, соприкасаясь друг с другом и одновременно вращаясь в одном направлении? Чтобы решить эту проблему, Максвелл ввел между вихрями своего рода «шестерни холостого хода»:

«Вихри разделены слоем частиц, вращающихся каждая вокруг собственной оси в направлении, противоположном направлению вихрей, так что соприкасающиеся поверхности частиц и вихрей имеют одно и то же направление движения» [11].

Вероятно, это была одна из наиболее сложных моделей, когда-либо предложенных в науке. Однако позднее Максвелл пояснил, что его теория фактически не зависит от какой-либо механической интерпретации:

«Я имел уже прежде случай попытаться описать особый вид движения и особый вид напряжения, приспособленных для объяснения этих явлений. В настоящем докладе я избегаю какой-либо гипотезы такого рода и, пользуясь такими словами, как «электромагнитное количество движения» и «электрическая упругость» в отношении известных явлений индукции токов и поляризации диэлектриков, я хочу только направить мысль читателя на механические явления, которые могут помочь ему понять электрические явления. Все подобные выражения в настоящей статье должны рассматриваться как иллюстративные, а не как объясняющие» [12].

Как позднее сказал Герц: «Главное в теории Максвелла — это уравнения Максвелла».