5. ГЕОМЕТРИЯ

(Следует читать после гл. 9)

После арифметики геометрия является наиболее известной математической дисциплиной. С ранних лет нас обучают тому, что пространство, в котором мы живем, евклидово. Мы не можем дать определение, что такое прямая или точка, но всегда можем их опознать и указать. Мы считаем, что объекты, которые мы отождествляем с прямыми линиями, остаются неизменными при перемещении их в пространстве (независимо от того, есть или нет вблизи этих объектов тяжелые тела), а треугольник остается тем же треугольником при изменении его положения, короче говоря, все объекты, которые мы отождествляем с прямыми, точками и т. д., удовлетворяют постулатам Евклида. Если это так, тогда и все теоремы Евклида оказываются применимыми для этих объектов, и, стало быть, мы получаем полную геометрическую структуру.

Здесь мы дадим краткую сводку некоторых наиболее полезных определений и теорем геометрии Евклида. Говорят, что два треугольника конгруэнтны (равны), если все их стороны и углы равны между собой. Существует целый ряд теорем, в которых доказывается конгруэнтность двух треугольников, сходных по меньшему числу признаков (например, если только стороны двух треугольников равны).

Треугольник, все стороны которого равны между собой, называется равносторонн им.

Треугольник, один из углов которого прямой, называется прямоугольным (фиг. 402). Для прямоугольных треугольников справедлива Знаменитая теорема Пифагора:

Говорят, что два треугольника подобны, если углы одного из них равны углам другого (фиг. 403). Треугольник подобен треугольнику

Фиг. 402.

Фиг. 403.

Треугольник, у которого равны две стороны, называется равнобедренным.

Окружностью называется кривая, все точки которой равноудалены от центра (фиг. 404).

Фиг. 404.

Длина окружности связана с ее радиусом с помощью знаменитого числа (определением длины окружности люди занимались с древних времен):

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми (как и угол

0 между двумя радиусами окружности), определяется по формуле

При таком определении угол измеряется в так называемых радианах. Связь между радианами и градусами нетрудно получить.

Фиг. 405.

Фиг. 406.

Развернутый угол (фиг. 405) соответствует 180°, или половине дуги окружности. Поэтому

т. е.

Измерять угол в радианах удобно потому, что в этих единицах

Особые функции синус, косинус и тангенс можно ввести, используя стороны и углы прямоугольного треугольника, изображенного на фиг. 406:

Из этих определений, в частности, следует, что при

Аналогичным образом можно показать, что при

После полного оборота, все повторяется. В результате графики этих функций являются периодическими кривыми (фиг. 407).

Фиг. 407.

Используя теорему Пифагора, можно легко получить различные соотношения между этими функциями. Например,

Доказательство:

но

следовательно,

что и требовалось доказать.

Всевозможные стоячие волны в теории света или в квантовой теории можно представить с помощью синусоидальных или косинусоидальных функций. Например, для стоячей волны с двумя узлами на длине имеем

Когда