МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

Закон сохранения импульса дает соотношение, связывающее начальные и конечные импульсы частиц, участвующих в столкновении. Для системы из двух частиц это соотношение позволяет определить любой из импульсов, если известны три остальных. Оно было получено в предположении, что силы ньютоновские (т. е. подчиняется третьему закону). Обладают ли силы дополнительными общими свойствами, не зависящими от их конкретной природы, которые позволили бы нам получить другие величины, остающиеся постоянными во время движения? Изучение этого вопроса приводит нас к понятиям консервативных сил, работы и энергии, к обсуждению которых мы сейчас переходим.

Работа

Работа, производимая над частицей, равна произведению величины приложенной к ней силы на расстояние, проходимое частицей в направлении этой силы, или

Определение. Работасилах расстояние, пройденное в направлении силы.

Это определение работы согласуется в некотором смысле с житейским понятием работы. Мы обычно говорим, что человек произвел большую работу, если он передвинул более тяжелый груз. Далее, мы

считаем, что он совершил примерно двойную работу, если передвинул груз на вдвое большее расстояние. Однако бывают случаи, когда человек мог бы сказать, что он работал — например, стоял и держал в руке чемодан, — но в смысле данного выше определения его работа равна нулю, так как чемодан оставался на месте. Это определение является одним из многочисленных примеров использования слов, заимствованных из житейской практики, в которые вкладывается специальный технический смысл.

Фиг. 105. Работа равна произведению силы на пройденный телом путь, если сила постоянна, а тело движется в направлении силы.

Техническое значение этих слов имеет лишь ограниченную связь с их общепринятым значением. Можно, конечно, придумывать новые слова. Однако, если мы будем обозначать вводимые понятия совершенно отвлеченными словами, то эти понятия полностью потеряют какую-либо связь с общежитейскими понятиями и не будут вызывать у нас никаких ассоциаций — ни верных, ни неверных Необходимо подчеркнуть, что, говоря о работе, мы подразумеваем только такую работу, которая определена выше или будет определена в дальнейшем.

Фиг. 106.

Принятое нами определение соответствует лишь самому простейшему случаю. Оно применимо только тогда, когда сила постоянна и действует в направлении движения (фиг. 105). Если сила задается в

Если сила постоянна по величине, но ее направление не совпадает с направлением движения, то работа определяется как произведение величины проекции этой силы на направление движения и пройденного расстояния. На фиг. 106 изображен именно такой случай. Здесь величина равна а величина равна

(см. приложения, стр. 436). Сила раскладывается на две компонента, векторная сумма которых совпадает с Одна из них, перпендикулярна направлению движения, другая, параллельна ему:

Определение работы в этом случае имеет вид:

Таким образом, мы можем обобщить данное ранее определение работы:

Определение. Если к телу приложена постоянная сила, то производимая над ним работа равна величине компоненты силы в направлении движения, умноженной на пройденное телом расстояние.

Из этого определения видно, что при заданной величине силы работа будет максимальной, если сила действует в направлении, совпадающем с направлением движения тела.

Фиг. 107.

Фиг. 108.

Если сила действует по направлению движения тела, она ускоряет его. Если же против, то замедляет.

Отметим три частных случая, нередко встречающихся в практике, когда работа производится постоянными силами.

1. Сила действует в направлении движения (фиг. 107):

2. Сила перпендикулярна движению (фиг. 108):

Фиг. 109.

Фиг. 110.

3. Сила действует против движения (фиг. 109):

Из определения работы следует, что возможны случаи, когда сила, действующая на тело, не производит работу. Так будет, если направление силы перпендикулярно направлению движения тела (фиг. 110). Однако мы знаем, что эта сила изменит направление движения тела. Поэтому, чтобы далее не производилась работа, сила тоже должна изменить свое направление, оставаясь перпендикулярной направлению движения.

Фиг. 111.

Этого нетрудно добиться. Достаточно представить себе, например, шар, привязанный к концу веревки постоянной длины (фиг. 111).

Завершим определение работы, рассмотрев общий случай, когда сила не остается постоянной во время движения. Для нахождения работы в такой ситуации необходимо изобразить на графике кривую зависимости величины компоненты силы в направлении движения от расстояния (фиг. 112).

Фиг. 112. Полная работа, становится равной площади под кривой при стремлении к нулю.

Тогда произведенная работа будет равна площади заштрихованной области, находящейся под кривой. Это означает, что если перемещать тело на очень маленькое расстояние с одной Силой, затем на следующее малое расстояние с другой силой и так далее, то полная работа будет равна сумме работ, произведенных при каждом небольшом перемещении. В частном случае постоянной силы заштрихованная область на графике будет прямоугольником, и

работа, как и было определено ранее, будет равна произведению силы на расстояние.

Мы прихоим таким образом, к следующему общему определению работы, произведенной силой над телом:

Определение. В случае постоянной силы работа равна произведению силы в направлении движения на пройденное телом расстояние; если величина силы изменяется в процессе движения, работа численно равна площади областиу находящейся под кривой зависимости компоненты силы, параллельной движению, от пройденного телом расстояния.

Пример 1. Сизиф тащит свой камень на расстояние вдоль ровного участка ада и прикладывает к камню усилие в 400 Н. При этом он совершает работу (400 Н) Дж. Однако на девятом круге, когда он тащит камень по льду замерзшего озера, Сизиф практически не совершает работы, так как не прикладывает к камню почти никакой силы. (Вообще говоря, Сизиф должен был выбирать иной, более трудный путь, путь, на котором не встречались бы подобные «препятствия».)

Пример 2. Хорошая пружина обладает тем свойством, что ее возвращающая сила пропорциональна величине растяжения (закон Гука).

Фиг. 113.

Спрашивается: какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пружину на 50 см, если при растяжении на 1 см она сопротивляется с силой в 103 дин? График зависимости величины силы от растяжения представлен на фиг. 113. Произведенная работа равна площади

заштрихованного треугольника, ограниченного вертикальной прямой, соответствующей 50 см:

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия частицы (понятие, сходное с vis viva, или живой силой, схоластов), часто обозначаемая буквой Т, определяется как произведение половины массы частицы на ее скорость в квадрате, или:

Определение. Кинетическая энергия

Понятия живой силы и движущей силы (последняя называется теперь импульсом) были предложены еще при ранних попытках понять движение тел, и оба назывались силами движения. С современной точки зрения движущая сила, или импульс, связана с величиной силы, необходимой для изменения движения в течение заданного интервала времени, а кинетическая энергия, или живая сила, — с величиной силы, необходимой для изменения движения на заданном расстоянии.

Теорема 11.3. Работа, произведенная над телом, равна изменению его кинетической энергии.

Эта теорема справедлива всегда при любом направлении силы относительно направления движения, как для постоянной, так и переменной во времени силы и т. Однако мы докажем ее лишь для простейшего случая постоянной силы, действующей в направлении движения.

Фиг. 114.

Доказательство. Рассмотрим тело, которое под действием силы перемещается из состояния покоя на расстояние (фиг. 114). Сила направлена вдоль движения. Поэтому все векторы можно рассматривать как числа. По определению, произведенная работа равна величине силы умноженной на расстояние

Изменение кинетической энергии равно разности между конечной и

начальной энергиями. Так как начальная кинетическая энергия рая нялась нулю (тело находилось в покое), то

Для вычислегзя необходимо найти (скорость тела после прохождения расстояния Ее можво определить из второго закона Ньютона. как сила, приложенная к телу, постоянна, ускорение будет тоже постоянным и, согласно второму закону, равным

При постоянном ускорении скорость связана со временем по формуле

Но чему равно время, за которое тело проходит расстояние с постоянным ускорением? На этот вопрос ответил еще Галилей, который получил зависимость пройденного пути от времени

Из этого выражения можно получить зависимость времени от расстояния:

Теперь мы располагаем всем необходимым; скомбинируем полученные формулы следующим образом. Конечная скорость

но

Поэтому

Далее,

так что

Используя это выражение, получаем

что и требовалось доказать.

Пример. В качестве упражнения рассмотрим вопрос, который обычно задают при сдаче экзаменов для получения водительских прав. Тормозной путь автомобиля, движущегося со скоростью равен, например, Чему равен тормозной путь этого же автомобиля, движущегося со скоростью Правильный ответ хорошо известен и гласит: Мы в состоянии теперь обосновать этот ответ.

Очевидно, что при нажатии на тормоза к шинам со стороны дороги прикладывается сила, максимальное значение которой определяется их прокручиванием относительно обода. Обозначим ее буквой Для остановки автомобиля необходимо изменить его кинетическую энергию от начальной величины, до конечной, 0. Согласно теореме, изменение кинетической энергии равно произведенной работе. Следовательно, произведение максимальной силы на тормозной путь равно величине начальной кинетической энергии, Поэтому длина тормозного пути определяется из следующего выражения:

(Работа отрицательна, так как сила направлена против движения.) Таким образом,

Масса автомобиля и максимальная сила входят в это уравнение как постоянные. Отношение длин тормозных путей для двух различных начальных скоростей, и равно

т. е. отношение этих длин пропорционально квадрату отношения скоростей. Следовательно, если скорость возрастет вдвое, длина тормозного пути увеличится вчетверо. Основное допущение, использованное в этом выводе, состоит в том, что максимальная сила, приложенная к шинам со стороны дороги, не зависит от начальной скорости автомобиля, что довольно близко к истине.

Обсуждение теоремы 11.3. Необходимо отметить следующие моменты, относящиеся к теореме 11.3.

1. В теореме ничего не говорится о том, как быстро производится работа, или о времени, затраченном на нее. Утверждается, что неза-, висимо от затраченного времени изменение кинетической энергии равно произведенной работе.

2. Мы видим, что работа, совершаемая над телом, увеличивает его кинетическую энергию, если сила направлена по движению, и уменьшает ее, если сила направлена против движения.

3. Если сила перпендикулярна направлению движения, как в случае шара, вращающегося на конце веревки, то она не совершает над телом никакой работы, и его кинетическая энергия не изменяется — это случай вращения по окружности вокруг центра сил,