ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ

Воспроизведем теперь вывод Ньютона, предположив, что каждая из планет движется по круговой орбите (это утверждение, хотя и противоречит правилу Кеплера, приближенн верно, так как

эллиптические орбиты планет близки к круговым) и ее ускорение

обусловлено силой, действующей между Солнцем и этой планетой, и направлено к Солнцу (центру окружности). Идея вывода состоит в том, что соотношение

будет выполняться только при определенном выборе действующей силы. Из второго закона можно получить выражение для силы, приложенной к планете со стороны Солнца:

где — масса планеты. Скорость планеты можно выразить через радиус орбиты и период Т:

или

Подставляя это соотношение в уравнение (6.5), получаем

(эта формула отражает только второй закон та и факт почти кругового движения планет вокруг Солнца).

Теперь можно воспользоваться правилом Кеплера. Для всех планет

или

Следовательно,

Таким образом, сила, действующая между Солнцем и планетой, равна постоянной (одинаковой для всех планет), умноженной на массу планеты и деленной на квадрат расстояния от Солнца до планеты (закон обратного квадрата расстояния).

Вот тот закон, который вытекает из третьего правила Кеплера. Ньютон же в то время интересовался силой, действующей между

Землей и Луной. Он выдвинул свое знаменитое теперь предположение, что сила, с которой Солнце притягивает планеты, является просто частным случаем силы, действующей между двумя любыми телами и равной по абсолютной величине

Здесь — постоянная, одинаковая для всех систем, а — массы тел (фиг. 61). В формулу (6.10), полученную с помощью правила Кеплера, входит только масса планеты. Ньютон предположил далее, что сила пропорциональна также и массе Солнца.

Фиг. 61.

Такое предположение выглядело весьма изящным. Выражение для силы, действующей между Солнцем и планетой, приняло тогда вид:

где — масса Солнца.

Таким образом, Ньютон пришел к замечательному выводу, что гравитационная сила пропорциональна массе планеты (или любого другого тела), на которую эта сила действует. Но ведь масса — это мера инерции тела, его способности противиться всякому изменению движения. Ньютону не удалось объяснить, почему гравитационная сила должна быть пропорциональна этой массе (другие силы — толчки, рывки, сила трения, электрические силы, — о которых мы будем говорить позже, не обладают таким свойством).

Глубокая связь между гравитационной силой и инерцией явилась в дальнейшем отправной точкой теории гравитации Эйнштейна.

Далее Ньютон мог рассуждать так: если сила, действующая между Солнцем и планетами, есть частный случай сил взаимодействия между любыми телами, то эта сила должна действовать как между Землей и предметами, находящимися вблизи ее поверхности, таки между Землей и Луной. Если притяжение Земли спадает пропорционально то так же должно уменьшаться и ускорение. Луна находится от Земли на расстоянии, приблизительно равном 60 земным радиусам, следовательно, ее ускорение должно примерно равняться

Ньютон совершил свое открытие в двадцатичетырехлетнем воз; расте, в те годы, когда он из-за чумы покинул Кембридж. Позднее он писал:

«...В этом же году я начал думать о тяготении, простирающемся до орбиты Луны, и ... из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояний от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, требующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они почти отвечают друг другу. Все это происходило в два чумных года, 1665 и 1666, ибо в это время я был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо после» [3].

Фиг. 62. Страница из «Начал» Ньютона.

Величина гравитационной силы

Если сила притяжения, введенная Ньютоном для объяснения движения планет, существует между любыми двумя телами, то спрашивается: можно ли ее заметить для двух тел, находящихся на Земле? Ньютон отвечал: «Сила гравитации между ними настолько мала, что наши органы чувств не способны ее ощутить». Для вычисления этой силы необходимо знать величину Ньютон не мог определить из измерений силы притяжения, действующей между Землей и телом заданной массы, так как масса Земли была неизвестна. Тем не менее он полагал, что величина G достаточно мала, ибо, по его мнению, два тела нормальных размеров, находящиеся на Земле, не должны действовать друг на друга с легко ощутимой силой.

В 1798 г., т. е. более чем через 100 лет, Кэвендиш провел лабораторные измерения гравитационного взаимодействия двух тел и вычислил на основании этих измерений постоянную Его прибор состоял из двух небольших шаров 1 и 2, укрепленных на противоположных концах горизонтально расположенного легкого стержня, подвешенного за середину на тонкой вертикальной нити. К нити было прикреплено маленькое зеркальце, которое отражало направленный на него луч света,

фиксируя тем самым любые незначительные повороты. Кроме этого Кэвендиш использовал два дополнительных массивных шара (А и В), которые он расположил относительно первых так, как указано на фиг. 63.

Отметив равновесное положение отраженного луча света, Кэвендиш переместил большие массы в положения А и В. Если в первом положении гравитационная сила притяжения между легкими и тяжелыми шарами действовала по часовой стрелке, то во втором положении — против нее. В результате вся система повернулась на некоторый угол, который удалось измерить. Независимо Кэвендиш определил силу, необходимую для поворота нити на заданный угол. Таким образом ему удалось измерить гравитационную силу, действующую между легкими и тяжелыми шарами, и тем самым найти величину По данным современных измерений она равна

Фиг. 63. Схема установки Кэвендиша.

Зная и ускорение предметов, падающих вблизи земной поверхности, можно вычислить массу Земли

Вычислим теперь силу, действующую между двумя предметами с одинаковыми массами в 1000 г, находящимися на расстоянии 100 см друг от друга:

Объяснение результата Галилея

Из полученного закона тяготения следует также, что без учета сопротивления воздуха все тела должны падать на землю с одинаковой скоростью, не зависящей от их масс. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела связано с действующей на него силой по формуле

Сила притяжения Земли пропорциональна массе тела и равна

В результате для ускорения тела получим выражение

в которое не входит масса этого тела. Таким образом, все тела испытывают одинаковое ускорение. Если принять во внимание, что гравитационная сила пропорциональна массе тела и что эта же масса характеризует его инерцию, то становится более понятным, почему именно все тела падают с одинаковым ускорением вблизи поверхности Земли.

Мы устанавливаем теперь, что ускорение тела вблизи земной поверхности, равное , определяется выражением

Здесь и — постоянные, однако величина должна изменяться при приближении к центру Земли или при удалении от него. Иными словами, ускорение свободного падения должно различаться на вершине горы и в долине; более того, можно даже измерить различие в значениях на соседних этажах какого-нибудь здания, хотя в этом случае измерения нужно проводить с точностью порядка 0,0000001.

Таблица 5

Вес

Весом тела называется гравитационная сила, действующая между этим телом и Землей. Выражение для веса можно записать в виде

или, используя определение

представить его в привычной форме:

Из определения следует, что вес тела различен в разных местах Земли. Это действительно так, что нетрудно проверить. Если бы тело оказалось на Луне, оно притягивалось бы ею слабее, так как масса Луны меньше массы Земли. Масса тела характеризует свойство самого тела. Вес же определяется не только его массой, но и параметрами окружающих его тел — величиной массы тела, на котором предмет находится (Земли, Луны и т. д.), и расстоянием до центра этой массы. На ракете в космосе предметы имеют пренебрежимо малый вес, однако их инерция (т. е. сопротивляемость изменению движения) остается прежней.

Верх и низ

Гравитационная сила притягивает тело к центру Земли. Именно благодаря этой силе яблоки падают на землю, будь то в Англии, Соединенных Штатах или Китае. Отсюда проистекает детское убеждение, что на другой стороне Земли люди стоят вверх ногами. Верх и низ определяются по отношению к центру Земли (фиг. 64). Если бы человеку пришлось пробивать туннель, проходящий через центр Земли, то сначала он спускался бы вниз, пока не добрался бы до центра, а потом направление его движения изменилось бы на противоположное. Сила гравитации обладает тем свойством, что она сохраняет свое численное значение, если человек перемещается по поверхности, точки которой равно удалены от центра притяжения, но медленно

Фиг. 64.

изменяется в направлении, проходящем через центр, что, однако, практически не ощущается в обычных условиях.

С помощью более хитроумных методов, таких, как дифференциальное исчисление (специально разработанное для этих целей), и методов, сходных с использованным нами,

Фиг. 65.

Ньютону удалось показать, как из трех законов движения и закона всемирного тяготения вытекает, что планеты обращаются по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце, и что их движение подчиняется остальным законам Кеплера: закону равных площадей и Он установил, что в общем случае существуют три типа траекторий движения тела под действием гравитационной силы, определяющихся начальной скоростью и положением тела.

Первый тип — эллиптические орбиты (планета вначале находится не очень далеко от Солнца или движется не слишком быстро) (фиг. 65). Два других типа — незамкнутые орбиты: параболические (фиг. 66) (планета вначале движется быстро или вдали от Солнца и поэтому не захватывается им) и гиперболические (фиг. 67) (планета вначале движется очень быстро, так что Солнце лишь слегка искривляет ее траекторию). В случае параболической или гиперболической орбиты тело появляется только один раз и исчезает навечно.

Фиг. 66.

Фиг. 67.

Таким образом, кометы, случайно «заглядывающие в гости» в солнечную систему, должны двигаться по орбитам последних двух типов; кометы же, которые периодически возвращаются (например, комета Галлея), движутся, очевидно, по сильно вытянутым эллипсам, как изображено на фиг. 68. Шекспир, живший до Ньютона, мог сказать в трагедии «Юлий Цезарь» устами Кальпурнии:

При смерти нищих не видны кометы:

Огнем вещает небо смерть владык...

или устами Бедфорда в I акте трагедии «Король Генрих VI»:

Кометы, вестницы судьбы народов,

Взмахните косами волос хрустальных...

Современные поэты должны подыскивать для описания комет другие метафоры, так как после Ньютона эти небесные тела превратились в почитаемых, хотя иногда и временных обитателей солнечной системы.

Фиг. 68. Орбита кометы Галлея. Даты указывают приблизительные положения кометы в эти годы.

Ньютону также удалось проанализировать множество более сложных явлений, таких, как, например, небольшие возмущения планетных орбит. Эти отклонения траекторий планет от эллиптической формы могут быть объяснены взаимодействием между самими планетами. Земля притягивается не только к Солнцу, но и к каждой из планет (с разной, конечно, силой). Эти взаимодействия достаточно слабы, так как массы планет значительно меньше массы Солнца. Их эффект проявляется в виде возмущений (небольших отклонений) основных орбитальных движений. Эти возмущения легко наблюдать и предсказывать, если учесть взаимное притяжение планет.

Исследование этих возмущений привело к неожиданному открытию новых планет. 13 марта 1781 г. Вильям Гершель, проводя обычные наблюдения неба, обнаружил седьмую планету (названную позднее Ураном). Однако всеобщее удивление вызвало не столько открытие седьмой планеты (Кеплер уже давно умер), сколько то, что, когда рассчитали ее орбиту, оказалось, что Уран ведет себя не так, как нужно. Даже когда учли влияние близких больших планет, Юпитера и Сатурна, орбита Урана не совпала с расчетной.

Англичанин Адамс и француз Леверрье независимо пришли к одному и тому же выводу, что за Ураном, но не слишком далеко от него, должна существовать еще одна неизвестная планета, искажающая его орбиту. 23 сентября 1846 г. немецкий астроном Галле обнаружил эту планету в том месте неба, которое ему указал Леверрье. Ее назвали Нептун.

Теория возмущений

Если бы планеты не взаимодействовали между собой, то под действием притяжения Солнца каждая из них двигалась бы по эллиптической орбите вокруг Солнца. Пусть две массы Р и К находятся друг от друга на достаточно малом расстоянии, так что необходимо принимать во внимание действующую между ними силу. Тогда помимо притяжения Солнца масса Р будет испытывать силу, направленную к а масса К, согласно третьему закону Ньютона, — силу, равную первой по абсолютной величине, но направленную в противоположную сторону. В результате обе массы сместятся со своих невозмущенных эллиптических орбит и будут двигаться по новым, возмущенным траекториям вокруг Солнца.

Фиг. 69. Простая иллюстрация эффекта возмущения.

Допустим, что Р — планета, комета. (Как правило, масса кометы значительно меньше массы планеты.) Тогда влияние их взаимодействия на движение К будет гораздо более сильным. Известно, что никто еще не наблюдал возмущение орбиты планеты, вызванное кометой, но очень часто случается, что траектория кометы чрезвычайно искажается при прохождении ее вблизи какой-нибудь планеты. Бывает, что эллиптическая (замкнутая) орбита кометы превращается в гиперболическую (открытую), так что кометы иногда покидают солнечную систему из-за взаимодействия с планетами (фиг. 69).

Ньютон объяснил также приливы, происходящие под действием гравитационного притяжения Луны и Солнца. Ему удалось показать, что сплющенная у полюсов форма земного шара обусловлена

вращением Земли. Наконец, он объяснил очень сложное движение земной оси (слабо заметная прецессия с периодом в 26 000 лет). И все это он сделал, опираясь только на законы движения и всемирного тяготения.

Мы не знаем, когда Ньютон получил эти результаты. Дело в том, что после известных двух чумных годов (1665—1666), когда он был «в расцвете» своих «изобретательских сил», он не опубликовал практически ни одной работы по этим вопросам. Другие ученые в Англии и на континенте работали в это время над теми же проблемами. Можно ли доказать, что планеты будут двигаться в соответствии с законами Кеплера, если допустить существование силы взаимодействия между Солнцем и планетами, спадающей с расстоянием как . К 1684 г. несколько членов Королевского общества показали (таким же способом, как это сделали мы), что в случае круговых орбит третий закон Кеплера выполняется. Гук утверждал, что ему удалось получить кеплеровские эллиптические орбиты из закона обратного квадрата расстояния для силы тяготения, но нигде не привел подробностей. В это время Галлей решил съездить в Кембридж и посоветоваться с Ньютоном по этому вопросу. В августе 1684 г. он явился к нему и, согласно описанию этого визита Джоном Кондуитом (который позднее женился на племяннице Ньютона), «сразу же, не рассказывая ему о своих размышлениях и исследованиях Гука и Рена, изложил цель своего визита, спросив, по каким траекториям должны двигаться планеты, если предположить, что сила тяготения спадает обратно пропорционально квадрату расстояния. Ньютон сразу же ответил: «По эллипсам». Радостно пораженный, Галлей поинтересовался, откуда он это знает. «Как откуда? Я это вычислил», — ответил Ньютон. Когда же Галлей попросил показать эти вычисления, Ньютон не смог их найти, но пообещал прислать их ему» [9].

В книге профессора Гиллеспи говорится:

«В то время как другие пытались найти закон тяготения, Ньютон потерял его. Только благодаря настойчивым просьбам Галлея он повторил свои вычисления заново и связал их с некоторыми теоремами из своего курса «О движении» (посвященного фактически законам Ньютона), который он читал в то время... Кроме доказательства теоремы, предложенной ему Галлеем, Ньютон написал «Математические начала натуральной философии» [10].

В 1687 г. эта книга вышла в свет благодаря помощи Галлея (который оплатил часть стоимости издания). Именно с этого момента взгляды людей на мир стали меняться.

Пример 1. Спутники Земли. Пусть спутник обращается вокруг Земли (сферической формы) по круговой орбите радиуса Спрашивается: за какое время он совершает полный оборот? Луна, находящаяся от Земли на расстоянии 384 000 км, оборачивается вокруг нее за сут. Применим третий закон Кеплера, Постоянную можно определить с помощью данных, относящихся к Луне:

Следовательно, для спутника

Спутники серии «Джемини» летали на высоте порядка 160 км над Землей Для них .

Фиг. 70.

Пример 2. Геостационарный спутник «Синком». На какой высоте должен находиться «Синком» — спутник, который неподвижно висит над определенной точкой Земли?

Земля совершает полный оборот вокруг своей оси за 1 сут. Если спутник имеет орбиту с таким же периодом и вращается в том же направлении, что и Земля, то он все время будет находиться над одним и тем же местом Земли. Такая орбита возможна:

т. е. «Синком» должен находиться на высоте примерно 36 300 км над поверхностью Земли (величины с индексом относятся к Луне). Как видно из фиг. 70, трех таких спутников вполне достаточно для создания эффективной всемирной системы связи.

(см. скан)