ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ СИЛОВЫХ СИСТЕМ

Изучим теперь несколько часто встречающихся и используемых консервативных систем. Начнем с частицы, на которую действует постоянная сила, например частицы, находящейся вблизи поверхности

Фиг. 132.

Земли под действием однородной гравитационной силы (фиг. 132). Работа, затраченная на перемещение частицы из нулевой точки в точку х, равна следовательно, потенциальная энергия частицы

Если рассмотреть ряд плоскостей, параллельных земной поверхности, то на каждой из них потенциальная энергия будет постоянной, так как последняя зависит лишь от расстояния частицы до Земли. Эти

плоскости можно назвать эквипотенциальными плоскостями (эквипотен-циалями). Полезно напомнить, что частицу можно перемещать по этим плоскостям, не совершая работы.

Определим теперь потенциальную энергию частицы, находящейся под действием реальной силы притяжения Земли. На частицу с массой действует сила

так, как показано на фиг. 133.

Фиг. 133.

Удобно начать с определения эквипотенциальных поверхностей. Как и ранее, потенциальная энергия на этих поверхностях должна быть постоянной, или, что то же самое, работа по перемещению частицы от одной точки поверхности к другой должна быть равна нулю. В случае силы, всегда направленной к центру Земли подобно гравитационной силе, найти такие поверхности не представляет труда. Любая сферическая поверхность относительно центра Земли будет поверхностью, на которой потенциальная энергия постоянна. В этом можно убедиться следующим образом. При перемещении частицы из одной точки поверхности в другую гравитационная сила будет всегда перпендикулярна направлению движения, так как радиус всегда образует прямой угол с поверхностью сферы. Поэтому при таком движении гравитационная сила не совершает никакой работы, т. е. потенциальная энергия на поверхности сферы во всех точках одинакова. Отсюда видно, что потенциальная энергия, связанная с гравитационной силой, может зависеть только от расстояния (по радиусу) частицы до центра, но не от направления этого радиуса. (Здесь проявляется свойство симметрии, с которым мы неоднократно будем иметь дело в дальнейшем.)

В таком случае, чтобы найти потенциальную энергию частицы, на которую действует гравитационная сила, можно вычислить работу по перемещению частицы вдоль простейшего из возможных путей от одной сферы к другой. Например (см. фиг. 133), чтобы вычислить работу

вдоль искривленного пути можно проводить вычисления сначала вдоль пути а затем вдоль радиального пути Разность потенциальных энергий в точках Л и С равна нулю, так как эти точки лежа!» на эквипотенциальной поверхности. Поэтому разность потенциальных энергий в точках Л и В равна разности этих энергий в точках С и В.

Таким образом, нам остается лишь вычислить разность потенциальных энергий при перемещении частицы по радиальной линии.

Фиг. 134.

Фиг. 135.

Сила, действующая на частицу при таком движении, равна

Будем считать, что частица движется к центру. Работу по перемещению частицы из в (фиг. 134) можно вычислить, разбивая интервал на большое количество маленьких отрезков и определяя сумму

которая численно равна площади, заштрихованной на фиг. 135. Суммирование можно провести точно, и в результате получим

Для такой системы фиксированная точка часто удаляется на бесконечность При этом когда Следовательно, гравитационная потенциальная энергия (при указанном выборе фиксированной точки) имеет вид

Фиг. 136.

Пример 1, Геофизическая ракета. Допустим, что понадобилось запустить ракету, которая поднялась бы на высоту 6400 км (один радиус Земли), а затем возвратилась бы обратно на Землю (фиг. 136). Какой начальной скоростью должна обладать ракета? Обозначим максимальную скорость, которую ей сообщил двигатель после выгорания топлива,

через Энергия ракеты в этот момент

и остается постоянной при ее движении.

На максимальной высоте, равной скорость ракеты обращается в нуль. Поэтому

или

так что

(напомним, что мы использовали это равенство для упрощения расчетов).

Пример 2. Вторая космическая скорость. Какой должна быть скорость ракеты, чтобы она никогда не вернулась на Землю? Минимальная скорость (ее называют второй космической скоростью) соответствует уходу ракеты на бесконечность где ее скорость обращается в нуль. Полная механическая энергия

При потенциальная энергия, равна нулю. Так как скорость при должна равняться нулю или быть положительной, кинетическая энергия ракеты (а следовательно, и полная энергия) должна тоже равняться нулю или быть больше нуля при Но полная механическая энергия сохраняется. Поэтому Е должна быть положительной, чтобы ракета смогла навсегда покинуть Землю.

Отсюда следует, что на Земле величина должна быть больше по крайней мере, чем

или

Но

поэтому

(Используя наше определение гравитационной потенциальной энергии, мы установили, что тела, энергия которых меньше нуля, «привязаны» к Земле, а тела с положительной энергией покидают ее навсегда. Можно также сказать, что замкнутые эллиптические орбиты характеризуются отрицательными энергиями, а открытые гиперболические — положительными.)

На фиг. 137 представлен график гравитационной потенциальной энергии тела в зависимости от расстояния до центра Земли. Полная энергия

Если Е меньше нуля, тело не может покинуть Землю. Всегда найдется такое значение при котором скорость тела обратится в нуль; достигнув этой высоты (так называемой точки поворота), тело останавливается и начинает двигаться в противоположном направлении.

Фиг. 137. Точку поворота можно найти, проведя прямую постоянной энергии Е (горизонтальную прямую). Точка поворота находится на пересечении этой прямой с графиком потенциальной энергии.

То же самое можно выразить более формально: если то при (тело остановилось)

откуда можно получить положительное значение для

Если же энергия положительна, положительного значения для получить нельзя. Это означает, что не может обратиться в нуль, т. е. точки поворота нет, тело никогда не остановится и не вернется на Землю.

Представим себе, что поперечное сечение профиля потенциальной энергии напоминает блюдо (фиг. 138) (или вообразим круговой холм

с долиной посередине). Потенциальная энергия тела в этом случае будет равна

где х — высота тела над уровнем долины (фиксированная точка лежит на ее поверхности). Его полная энергия

Фиг. 138.

При заданной энергии Е максимальная высота, которой может достигнуть тело, определяется из условия, что

Если — высота холма), то тело перевалит через вершину. Если же или тело будет оставаться в долине, «катаясь» по ней взад и вперед, но не покидая ее.

Пример 3. Маневр сближения ракет. При выводе закона сохранения энергии считалось, что силы, действующие в какой-то системе, являются консервативньми и что их действие удобно описывать потенциальной энергией. Однако иногда представляется более удобным рассматривать некоторые силы, действующие на тело, как «внешние», т. е. как силы, способные изменить энергию тела. Используя теоремы 11.3 и 12.1, можно написать

В качестве примера рассмотрим случай, когда желательно уменьшить радиус орбиты спутника Земли. Допустим, что для этого маневра используются вспомогательные маломощные двигатели. Силы, действующие со стороны двигателей, рассматриваются как «внешние»: они способны изменить энергию космического корабля. Тогда работа,

произведенная двигателями над кораблем при перемещении его из точки а в точку равна

Энергия космического корабля, движущегося под действием гравитационной силы, есть

Так как корабль обращается по круговой орбите,

и одновременно

Следовательно,

или

Подставляя это соотношение в (12.32), получаем общий и важный результат:

Фиг. 139.

Представим теперь два спутника Земли, круговые орбиты которых лежат в одной плоскости и имеют радиусы (фиг. 139). Пусть космонавт в корабле пожелал присоединиться к своему коллеге из корабля Как он это осуществит? Спутник снабжен небольшими двигателями, которые можно включить, чтобы изменить движение.

Чтобы достигнуть корабля который движется по орбите меньшего радиуса с большей скоростью обладает меньшей энергией (напомним, при уменьшении величина Е принимает большие отрицательные значения, т. е. уменьшается), космонавт 2 должен включить двигатель, действующий против движения, уменьшая тем самым энергию корабля, но увеличивая при этом его

скорость! Допустим, двигатель действует на корабль с постоянной силой направленной все время против движения (фиг. 140). Тогда работа, совершенная этой силой над кораблем, равна произведению силы на пройденное им расстояние. Это соотношение можно представить в более удобной для космонавта (желающего знать, сколько времени должен работать двигатель) форме:

Фиг. 140.

(Скорость корабля слегка изменится за это время, однако, если близки, это изменение несущественно.) Поэтому приближенно

или

откуда

Для типичных орбит (скажем, на высоте 200 км над поверхностью Земли) можно положить, например, км, а км ( км). Оценим величину считая приближенно, что Тогда

Полагая, что масса корабля равна 1500 кг, получаем

т. е. корабль перейдет на нужную орбиту, если двигатель будет действовать с силой, например, в 375 Н в течение 5 с

Космонавту, должно быть, покажется странным, что он не может догнать другой корабль, идя за ним в хвосте и увеличивая скорость своего корабля. Если корабли движутся по одной орбите, то сила, увеличивающая энергию догоняющего корабля, увеличит радиус его орбиты и уменьшит его скорость; сила же, уменьшающая его энергию, уменьшит радиус его орбиты и увеличит скорость корабля. Поэтому для встречи с космонавтом 1 космонавт 2 должен избрать путь, подобный изображенному на фиг. 141.

Фиг. 141.

Мы могли бы задаться вопросом: где же собственно хранится запасенная потенциальная энергия? Кинетическая энергия тела, обусловленная его движением, всегда на виду и может быть легко вычислена, если известна скорость тела. Потенциальную же энергию представить гораздо сложнее. Можно было бы сказать, что она находится где-то внутри системы. Однако, если в случае, например, пружины можно было бы утверждать, что потенциальная энергия хранится где-то в витках пружины, то как быть в случае частицы, находящейся над поверхностью Земли? Мы всегда стараемся придумать наглядные картинки для объяснения или представления тех величин и понятий, с которыми нам приходится иметь дело. Иногда нам удается сделать это и даже с явной пользой, но такой подход вовсе не обязательно будет плодотворным, поскольку заранее не ясно, должны ли введенные величины и понятия иметь наглядное истолкование. В истории физики известно много случаев, когда попытки наглядного толкования таких математических понятий, как потенциальная энергия, при помощи сжатых пружин или других механических моделей часто приводили ученых к неверным результатам. Смысл потенциальной энергии заключен только в ее определении, а именно: иногда можно ввести такую

величину, зависящую от положения частицы, которая в сумме с ее кинетической энергией образует другую величину, остающуюся постоянной в процессе движения.

Существуют ли неконсервативные силы? Всегда ли сохраняется энергия?

Различие между консервативными и неконсервативными силами могло бы быть фундаментальным. В этом случае закон сохранения энергии, как мы его определили, выполнялся бы только для определенного класса сил. Можно было бы утверждать, что в случае бруска, скользящего по столу, или шара, испытывающего сопротивление воздуха (явно неконсервативные системы), энергия не сохраняется; и это было бы абсолютно верно с точки зрения определения закона сохранения, введенного ранее. Однако мы можем встать на ту точку зрения (она оказалась приемлемой и даже плодотворной), что неконсервативные силы не являются фундаментальными. Для этого будем считать, что брусок и стол, между которыми действует сила трения, не являются сплошными, а состоят из большого числа частиц. Рассматривая силы, действующие между этими частицами, мы тем самым исследуем систему, которая уже консервативна.

Конечно, нет никакой гарантии, что всегда нам удастся перейти от неконсервативной системы к консервативной. Попытки осуществить такой переход отражают лишь нашу решимость видеть мир устроенным определенным образом. Однако следует отметить, что во всех задачах, включавших сопротивление воздуха или силу трения, всегда удавалось показать, что полная энергия системы сохранялась, если рассматривались движения всех частиц (молекул), из которых «в действительности» состоял, например, воздух. Такой переход удавалось последовательно и успешно проводить в жизнь вплоть до настоящего времени. Когда физики встречались с явным нарушением закона сохранения энергии, они постулировали существование новых форм энергии или новых частиц. Можно рассматривать законы сохранения энергии и импульса в первую очередь как недвусмысленное указание искать либо новый механизм, либо новые представления, либо новую частицу во всех случаях, когда происходит очевидное нарушение этих законов. Конечно, нет никакой гарантии, что в будущем всегда окажется возможным осуществить такую программу и не придется под давлением неопровержимых доказательств отказаться от нее. Можно только констатировать, что осуществление подобной программы было до настоящего времени успешным и плодотворным. (Позднее мы рассмотрим конкретаый пример кажущейся потери механической энергии при скольжении бруска по неидеальной гладкой поверхности.)