Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМаксвелл открыл путь, который со временем превратился в широкую столбовую дорогу. В течение последующих ста лет было воздвигнуто грандиозное здание статистической механики, в частности благодаря работам Людвига Больцмана и Дж. Вилларда Гиббса. (Гиббс был первым великим американским физиком-теоретиком, который, как и другие «пророки», был признан в собственном университете в последнюю очередь. Говорят, что президент Йельского университета, решив создать физический факультет, обращался за помощью к нескольким европейским ученым. Они отсылали его к Вилларду Гиббсу, которого президент не знал. Гиббс в это время числился в штате Йельского университета.) Суть статистической гипотезы, сформулированной для газов, состоит в том, что мы отказываемся от попыток узнать точное положение и скорость каждой из множества частиц, образующих систему, а вместо этого предполагаем, если нет никакой дополнительной информации, что для каждой частицы системы все возможные положения и направления скорости равновероятны (следует особо подчеркнуть слово равновероятны). Некоторую информацию мы все-таки имеем: предполагается, что полная энергия системы Е и полное число частиц в ней N фиксированы (мы считаем, что энергия и число частиц сохраняются). Поэтому некоторые комбинации скоростей и положений совокупности частиц запрещены; в качестве примера запрещенной системы укажем такую комбинацию, когда хотя бы одна частица обладает энергией, большей Е: в таком случае полная энергия системы превышала бы Е. Можно было бы представить себе ситуацию, когда вся энергия газа вложена в одну частицу, которая движется с чрезвычайно большой скоростью, соответствующей энергии Рассмотрим все возможные (и различающиеся между собой) распределения молекул в пространстве и по скоростям, удовлетворяющие условиям, что энергия Е и число частиц N остаются неизменными, когда все молекулы находятся в одном углу сосуда и имеют одну скорость, когда они находятся в другом углу и имеют другую скорость и т. д., т. е. примем во внимание абсолютно все возможные комбинации. Найдем теперь наиболее вероятное распределение положений и скоростей молекул. Эта задача при перечисленных выше условиях разрешима. Основная идея статистики заключена в гипотезе, что, если система находится при заданной температуре (в тепловом равновесии, как, например, газ в сосуде), скорости и положения молекул описываются наиболее вероятным распределением. Зная это наиболее вероятное распределение молекул, можно вычислить коэффициент вязкости, давление и другие величины. Распределение Максвелла — Больцмана требует, чтобы частицы были однородно распределены в пространстве, а их скорости — как показано на фиг. 385.
Фиг. 385. Это и есть наиболее вероятное распределение частиц по положениям и скоростям при условии, что все конфигурации равновероятны, а полное число частиц и их полная энергия фиксированы. Таким образом, мы обходимся без допущения о равенстве скоростей частиц и не решаем уравнений движения, из которых мы могли бы получить точные значения координат и скоростей каждой частицы, но вводим наиболее вероятное распределение по положениям в пространстве и по скоростям для всех частиц. Это весьма радикальное предположение выходит далеко за рамки законов механики, недаром его долго и интенсивно обсуждали и анализировали уже после Максвелла и Больцмана. Это допущение формулировали по-разному. Но по существу все сводится к чисто интуитивной догадке, что в любой реальной физической ситуации маловероятные распределения молекул (как по пространству, так и по скоростям) не могут возникать настолько часто, чтобы оказывать хоть какое-то влияние на равновесные свойства системы. Проиллюстрируем смысл этой гипотезы на нескольких примерах. Рассмотрим газ, состоящий из большого числа частиц, заключенных в сосуде. Вполне возможно такое распределение частиц, когда все частицы движутся в одну сторону, ударяются в какой-то момент об одну стенку сосуда и ни одна из них не ударяется о противоположную стенку (фиг. 386). В результате такого движения к одной стенке сосуда будет приложена значительная сила, а на другую стенку сила действовать не будет, поэтому весь сосуд отскочит вбок, пока противоположная стенка не столкнется с молекулами, после чего сосуд отскочит назад. Это возможно, но маловероятно. Вряд ли
Фиг. 386. Все молекулы движутся в одном направлении. Может также случиться, что в какой-то момент все молекулы вдруг очутятся в одном углу сосуда, а все другие части сосуда окажутся пустыми (фиг. 387). В это мгновение плотность газа в одном углу сосуда станет очень большой, тогда как в других его частях плотность будет равна нулю. Такая ситуация тоже возможна, но маловероятна. Предположим, что на автомобильной стоянке находится 10 000 машин и стоянка имеет лишь один выезд; когда заканчивается футбол, все владельцы машин садятся за руль. Спрашивается: возможна ли такая ситуация, когда все машины непрерывным потоком выедут со стоянки, не образуя «пробок» или скоплений машин в некоторых местах?
Фиг. 387. Все молекулы собрались в одном углу. Конечно, это возможно, но крайне маловероятно, если на месте не окажется большого количества дорожных полицейских. Как правило же, при освобождении стоянки образуется немыслимая каша из машин, поскольку каждая из них перемещается почти случайным образом, пытаясь выехать со стоянки. Предположение, содержащееся в работах Максвелла, Больцмана и Гиббса, равнозначно утверждению, что большое количество частиц, подчиняющихся ньютоновским законам движения, при наличии тех или иных внешних ограничений (например, постоянства полной энергии и полного числа частиц) в результате взаимных соударений в конечном итоге переходят в некое среднее состояние. Из знаменитой теоремы Больцмана ( наиболее вероятного состояния. Статистическая механика избавляет нас от всех неудобств, связанных с решением уравнений движения. Она основывается на предположении, что распределение частиц в равновесном состоянии является наиболее вероятным, и выводит затем все следствия, вытекающие из этого распределения. Очевидно, что могут возникать и такие распределения, которые не являются наиболее вероятными. Не менее очевидно, однако, что такие распределения быстро исчезнут, если потрясти сосуд или ввести беспорядок каким-либо иным способом.
|
1 |
Оглавление
|