4. СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ, ПРЕДЕЛЫ

Те, кто знаком с игрой на бирже, знают, что представляют собой переменные функции и как выглядят их графики. Мы часто сталкиваемся с таблицами ежемесячных прибылей, ежедневных значений индекса Доу-Джонса или объемом валового национального продукта за год. К сожалению, значения таких функций известны лишь для прошедших моментов времени; любая экстраполяция в будущее сопряжена с определенным риском, которого стремится избежать каждый держатель акций.

Поведение биржевого рынка определяется его динамикой. Если кому-то кажется, что он вскрыл внутренние связи, управляющие биржевой игрой, он ошибается, хотя никогда не бывает недостатка в прекрасных объяснениях происшедших событий задним числом. Динамику движения планет и атомов действительно удалось раскрыть; благодаря щедрости и открытому характеру науки (вероятно, эти качества присущи ей потому, что занятия ею не приносят прибыли) она доступна всем. Мы можем, например, записать положение планеты в виде функции времени, известной для любых моментов времени, — как в прошлом, так и в будущем. Если кто-нибудь пожелает узнать положение Венеры, например в 11 ч 31 мин 8 апреля 2066 г., он в принципе может получить интересующую его информацию с помощью нескольких телефонных звонков.

Как для математика, так и для вкладчика наибольший интерес представляет вопрос о том, с какой скоростью и в каком направлении изменяется данная функция. В случае капитала компании, как правило, достаточно знать величину его роста и уменьшения за годовой период. Иногда, правда, бывают ситуации, когда желательно получать такую информацию ежедневно (если компания, например, находится на грани банкротства). Значение средней скорости изменения функции со временем получается, если значение функции в один момент времени вычесть из значения функции в другой момент времени, а результат разделить на временной интервал:

Средняя скорость вычисляется следующим образом. Рассмотрим какую-то функцию времени . В момент функция равна . В момент она имеет значение За время (интервал предполагается как угодно малым, но всегда положительным) приращение функции (обозначим его т. е. изменение

следовательно, согласно определению,

Символы являются общепринятыми обозначениями для изменений можно сказать, что средняя скорость изменения равна отношению изменения при заданном изменении [Когда изменение становится бесконечно малой величиной, вместо принято писать , а вместо соответствующего изменёния -символ . То, что называют производной, или «мгновенной» скоростью изменения функции, есть просто средняя скорость изменения функции в пределе бесконечно малых значений (как угодно близких к нулю, но никогда не обращающихся в Определение средней скорости поясняется на фиг. 400.

Фиг. 400.

Рассмотрим функцию Положим, например, Тогда а

так что

и

Отсюда

Если интерпретировать как расстояние, пройденное пушечным ядром при падении с мачты, т. е.

то величина

будет средней скоростью ядра за время Так, за промежуток времени между средняя скорость ядра равнялась примерно

Проиллюстрируем на одном примере метод получения мгновенной скорости. Рассмотрим ту же функцию

Тогда

и

Теперь мы можем утверждать следующее (это самое существенное в примере): так как мы можем сделать сколь угодно малой величиной (но всегда положительной), второй член в полученном выражении можно отбросить.

Таким образом, мы показали, что предел при стремлении к нулю, т. е. мгновенная скорость, равен или что совпадает с определением скорости в случае равноускоренного движения. При мгновенная скорость равна

тогда как при ее значение

При выводе предполагалось, что и приращение функции

и временной интервал очень малы» Однако полагать точно ни в коем случае нельзя. Поэтому величину можно всегда рассматривать как величину, отличную от нуля, т. е. на эту величину можно умножать и делить, как на обычное число. Именно чтобы подчеркнуть

это, мы всегда писали

Если

то это значит, что при малых изменение функции равно

(данное выражение становится точным при очень малых значениях временного интервала).

Идея предела при стремлении к нулю очень важна и тонка. Дело здесь в следующем. Рассмотрим знаменитое рассуждение Зенона об Ахилле, пытающемся догнать черепаху. Допустим для простоты, что черепаха неподвижна, Ахилл бежит со скоростью и начальное расстояние между черепахой и Ахиллом равно (фиг. 401).

Фиг. 401.

Ахилл, конечно, настигнет черепаху через 1 с. Но посмотрим, как рассуждает Зенон. За первую половину секунды Ахилл пробегает за следующую четверть секунды — за следующую восьмую секунды — Деля временной интервал пополам на каждом шаге, мы получаем, что Ахилл проходит каждый раз лишь половину оставшегося расстояния до черепахи, откуда Зенон заключает (действительно ли Зенон рассуждал подобным образом?): Ахилл никогда не догонит черепаху.

Суть этого парадокса состоит в том, что сумма бесконечного числа убывающих временных интервалов равна конечной величине:

Точно так же отрезки пройденного пути становятся настолько малыми, что их бесконечная сумма тоже равна конечной величине:

Таким образом, мы видим, что рассматривать интервалы пути и временные интервалы сами по себе нельзя — в этом и состоит разгадка парадокса Зенона. Однако отношение интервала пути к временному интервалу имеет очень простой вид. За первую половину секунды Ахилл

пробегает и

За следующую четверть секунды он пробегает и

и т. д., т. е. отношение равно просто скорости, с которой бежит Ахилл.

Существует бесчисленное множество подобных случаев, когда трудно следить за двумя величинами, которые становятся очень маленькими или, наоборот, очень большими. При этом, однако, произведение или отношение этих величин остается конечным.