1. ЧИСЛА, АЛГЕБРА

Первое знакомство с математикой мы получаем при изучении обычных чисел. Мы так рано обучаемся счету что часто теряем представление об их структуре. Символ 3, помимо прочего, обозначает нечто общее, присущее всем наборам из трех предметов. Его можно записать и в виде III (как делали римляне), и в виде

(как делали древние вавилоняне);

равнозначно

и

Древние египтяне использовали иероглифы для обозначения степеней 10. Вертикальная палочка обозначала 1; дуга спираль — 100; лотос — 1000 и т. д. Числа в этих символах представлялись с помощью аддитивной системы: так, например, число две тысячи триста тридцать девять записывалось так:

а читалось оно, как

В древневавилонской клинописи (1800-1600 гг. до н. э.) числа от 1 до 10 имели следующий вид:

Числа 20, 30, 40 и 50 обозначались

а число -снова у. Отличить 1 от 60 можно было по положению символа у в числе. Так, обозначало или или

70. В вавилонской системе можно было выражать разные степени 60 с помощью одних и тех же символов, в то время как в древнеегипетской системе для обозначения различных степеней 10 следовало использовать разные символы.

В индо-арабской системе (эта десятичная система, в которой использовалось позиционное обозначение, сохранилась до наших дней) появился нуль, устранивший те неопределенности, которые встречались в более ранних системах. (Нуль можно писать в середине числа, например 201, или после целых чисел, как в числах 10, 100, 1000, ..., для обозначения нужной степени 10; кроме того, посредством нуля можно обозначать такие конструкции, как, например, 15-15.) В этой системе используются 10 чисел: 0, 1, ..., 9. С помощью этих чисел и их положений можно построить любое число. Например, 932 обозначает Таким образом удается, используя ограниченное количество символов, однозначно и удобно представить очень широкий набор чисел.

Среди средств, использующихся для упрощения операций с большими числами, одним из наиболее полезных является показатель степени. Умножая, например, 100 на 1000, получаем

произведение единицы с двумя нулями на единицу с тремя нулями равно единице с пятью нулями. Такое умножение можно упростить, если ввести понятие показателя:

Тогда произведение

можно представить в виде

В общем случае

или

Легко проверить, что

или

Известно, что диаметр Вселенной примерно в

раз больше диаметра электрона; было бы гораздо удобнее, если бы это большое число можно было записать коротко. Обычно мы его записываем как 1040. В таком виде его проще писать и с ним легче обращаться, как, например, удобнее писать 27 вместо .

С помощью основного правила для показателей степени можно определить произвольную степень числа. Например, есть число, для которого

Таким образом, равно кубическому корню из 100. Число есть такое число, для которого

или

В общем случае есть такое число, которое дает если его умножить само на себя раз:

Следовательно, можно назвать корнем степени из .

Многие свойства чисел мы знаем почти инстинктивно:

Эти свойства можно представить в более общем виде:

Мы можем рассматривать числа как составляющие специальной системы, обладающей такими свойствами, или, наоборот, считать, что эти свойства являются абстрактным выражением тех особенностей, которые присущи положительным целым числам, что фактически отражает историю выявления этих свойств.

Получив правила, определяющие поведение целых чисел, мы обнаруживаем, что этим правилам подчиняются не только такие числа.

Более того, оказывается чрезвычайно удобно присоединить эти новые объекты к целым числам, так как многие дозволенные операции с целыми числами не укладываются в рамки системы целых чисел. Так вводятся нуль, дроби и отрицательные числа (фиг. 390).

Введение дробей делает возможными такие, например, операции, как деление единицы на 3; введение нуля — операции типа 2—2, а отрицательных чисел — такие, как 3—4.

Фиг. 390. Действительные числа.

Алгебраические символы ввиду того, что они не являются определенными числами, используются для записи утверждений, справедливых для всех чисел, а не для каких-то определенных. Например, равенство

справедливо в той же мере, что и равенство

или в общем виде:

(порядок перемножения сомножителей не влияет на результат). Однако если мы напишем то это равенство будет выполняться лишь при определенном значении

Вероятно, единственным наиболее важным алгебраическим соотношением является равенство. Это соотношение удовлетворяет всем аксиомам Евклида, из которых следуют почти все алгебраические действия: если к равным величинам прибавляются равные, равенство не нарушается; величины, равные одной и той же третьей величине, равны между собой и т. д. Для Аристотеля аксиома означала «общепринятое» утверждение, или соглашение о том, что должен обозначать язык. Аксиомы, представленные в виде равенства, не являются ни самоочевидными, ни необходимыми. Они лишь обозначают точный смысл соотношения. Правильный ответ на вопрос «Почему равные величины, добавленные к равным, не нарушают равенства?» состоит не в том, что это самоочевидно, а в том, что это заложено в смысл символа иными словами, если то и

В общем случае это справедливо не всегда. Например, утверждение, что плюс дает не является верным для произвольного объекта (скажем, если обозначает «нечетное число»).

Всевозможные операции, образующие то, что называется алгеброй, включают преобразования алгебраических выражений из одной формы в другую. Такие преобразования основаны на том, что определенные соотношения остаются справедливыми при определенных операциях. (Например, равенство двух выражений не нарушается, если оба эти выражения умножить на одно и то же число, скажем 7.) Цель таких преобразований состоит в том, чтобы привести выражения к стандартному или более понятному виду или чтобы получить соотношения, очевидные при одной форме записи и неочевидные при другой. Например, складывая две дроби

мы часто приводим их к общему знаменателю. Это можно сделать, умножая первую дробь на

а вторую на

В результате получим

Проанализируем в качестве упражнения алгебраические преобразования, использованные в гл. 29 (вторая часть книги). Пусть, как в гл. 29,

Сумму этих величин мы обозначаем через Т:

Конечно, можно оставить выражение для Т в таком виде, однако связь становится более прозрачной и, более того, все выражение

принимает стандартную форму (поэтому его проще сравнивать с другими выражениями), если его переписать следующим образом. Прежде всего,

а равенство не изменяется, если обе его части умножить на равные величины.

Далее,

так как например Следовательно,

Мы можем также написать, что

а так как

в результате получим

Поэтому

Оба выражения в правой части имеют одинаковый знаменатель (по терминологии, принятой в математике, это «общий знаменатель»), поэтому их можно просто сложить. Тогда

что является удобной формой выражения для Т. Если поделить числитель и знаменатель этого выражения на (что эквивалентно делению на 1), мы получим другую удобную и стандартную форму выражения для Т: