Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯВернемся теперь к изучению столкновений частиц. Рассмотрим, в частности, столкновение двух частиц, чтобы проиллюстрировать полезность понятия кинетической энергии при классификации подобных столкновений. Результаты, которые мы получим, снова окажутся более общими, чем сама теория столкновений ньютоновских частиц (в этом заключается одна из причин, почему к этим результатам проявляется повышенный интерес). В дальнейшем мы используем их при изучении столкновений таких неньютоновских объектов, как атомные ядра. До этого мы исследовали столкновения, используя теорему о сохранении импульса, справедливую, если силы ньютоновские, или если действие равно противодействию. Теперь мы покажем, что если наложить более жесткие ограничения на силы, действующие между частицами (при этом, однако, остается еще достаточно широкий класс возможных сил, часто встречающихся на практике), то при столкновении будет выполняться закон сохранения кинетической энергии. Теорема 11.4. Если силы, действующие между двумя телами, таковы, что их величина и направление зависят только от расстояния между телами, то кинетическая энергия до столкновения будет равна кинетической энергии после столкновения. Так как кинетическая энергия во время столкновения не обязательно остается постоянной, следует договориться, что мы понимаем под выражениями «до столкновения», «во время столкновения» и «после столкновения». Сделаем это следующим образом. Предположим (это допущение вводится лишь из соображений простоты), что силы обращаются в нуль, когда тела достаточно далеко удалены друг от друга. Такое предположение представляется довольно реалистичным, если иметь в виду столкновение двух тел, так как мы полагаем, что тела не действуют друг на друга ни до, ни после соприкосновения. В качестве примера силы, удовлетворяющей первому требованию, но не удовлетворяющей второму, можно назвать гравитационную силу, которая зависит лишь от расстояния между двумя телами, но не обращается в нуль ни при каком значении этого расстояния. Последнее обстоятельство, однако, не вызывает серьезных затруднений, и позже будет показано, как их можно преодолеть. В качестве примеров сил, зависящих не только от расстояния между двумя телами, можно привести силу трения между телом и столом или силу, с которой воздух действует на тело, движущееся в нем. Такие силы всегда направлены против движения, поэтому их направление зависит не только от положения тела, но и от направления его движения, т. е. они не удовлетворяют первому требованию. Проведем доказательство теоремы для случая, когда силы, действующие между двумя частицами, т. е. силы, с которой одна частица воздействует на другую, направлены вдоль линии, соединяющей частицы. Такие силы называются центральными. Теорему можно распространить и на случай нецентральных сил. Доказательство. Представим две частицы, приближающиеся вдоль линии
Фиг. 115. Частицы до и после столкновения.
Фиг. 116. За любой промежуток времени (скажем, Обозначим силу, с которой частица 2 действовала на частицу 1 в течение этого промежутка времени, через
Величину этой силы обозначим через
(Рабата отрицательна, так как в этом случае силы направлены против движения.
Фиг. 117. Далее, векторы складываются как числа, потому что мы ограничились случаем сил, действующих вдоль линии, соединяющей частицы.) Но
Это выражение показывает, что если расстояние между частицами равно
поскольку при разлете расстояние между частицами не уменьшается, а возрастает; при сближении направление силы и направление движения совпадают, а при разлете они противоположны друг другу (фиг. 118). (В этом соль доказательства; для сил типа силы трения или сопротивления воздуха именно это условие не выполняется.) Таким образом, работа, совершаемая при уменьшении
Фиг. 118. Знак работы, совершаемой налетающими частицами, противоположен знаку работы, совершаемой разлетающимися частицами. тогда как при увеличении
Сложив эти выражения, получим нуль. Поскольку такое же рассуждение можно провести для любых расстояний между частицами, суммарная работа равна нулю. Следовательно, по теореме 11.3, и полное изменение кинетической энергии системы равно нулю, что и требовалось доказать. Поясним сказанное, рассмотрев, к примеру, столкновение двух бильярдных шаров. При столкновении шаров сила между ними действует лишь во время их соприкосновения. Она очень велика и стремится развести шары. (Сталкиваясь, шары немного сжимаются, и именно благодаря сопротивлению по отношению к этому сжатию появляется сила, стремящаяся их снова развести.) Разойдясь, шары вновь принимают свою первоначальную форму; именно из-за способности шаров распрямляться действующая между ними сила зависит только от расстояния между центрами шаров (фиг. 119).
Фиг. 119. Силы, действующие между упругими бильярдными шарами, зависят лишь От расстояния между шарами. Если бы они не были упругими и деформировались, как два мягких тела, то силы, действующие во время расхождения шаров и при их сближении (при одинаковых расстояниях между их центрами), были бы совершенно различными. Таким образом, эти силы зависели бы не только от расстояния между центрами шаров, но еще и от того, сближаются или разлетаются частицы (фиг, 120).
Фиг. 120. Силы, действующие между двумя глиняными шарами (неупругими), ависят также от предыстории движения шаров. Так возникло понятие упругие столкновения. При таких столкновениях упругое тело принимает после соударения свою первоначальную форму, т. е. сила, распрямляющая тело, равна силе, сжимающей его. Силы взаимодействия между такими телами зависят лишь от расстояния между ними. Теперь мы можем сформулировать нашу теорему в следующем виде: Теорема 11.4. При упругих столкновениях кинетическая энергия остается постоянной. Упругие столкновения представляют большой интерес, в част ности потому, что почти все столкновения между элементарными, или ядерными, частицами являются упругими. Причину такого характера столкновений нетрудно понять. Неупругость связана с необратимыми изменениями формы тела. Если тело не имеет внутренней структуры, его нельзя деформировать. Когда пытаются выделить элементарные или фундаментальные частицы, стараются иметь дело с такими объектами, которые совсем не обладают или почти не обладают внутренней структурой. Поэтому при изучении столкновений между такими частицами часто считают, что последние не имеют внутренней структуры, и так как деформироваться в этом случае нечему, соударения являются упругими. При исследовании таких столкновений можно воспользоваться тем, что полный импульс частиц сохраняется, а также тем, что кинетическая энергия до столкновения равна кинетической энергии после столкновения. Как мы увидим, эти два общих результата имеют важнейшее значение при изучении столкновений между элементарными частицами, если неизвестен характер взаимодействия между ними.
Фиг. 121. Пример. В качестве интересного примера рассмотрим лобовое столкновение двух тел равной массы, когда одно из них вначале покоилось. (Такое столкновение иногда происходит на бильярдном столе, фиг. 121.) В этом случае
Соударение происходит вдоль прямой, поэтому все векторы складываются как числа, т. е.
или
Следовательно, сумма конечных скоростей равна начальной скорости. Далее, если столкновение упругое, начальная кинетическая энергия должна равняться конечной, т. е.
или
Таким образом, мы имеем два уравнения:
Могут ли они выполняться одновременно? Если считать, что бильярдные шары не могут проходить друг сквозь друга, то единственное решение этой системы имеет вид
и
(Показать, что полученное решение удовлетворяет обоим уравнениям, нетрудно, но гораздо сложнее доказать, что оно единственное.) Из него следует, что после столкновения первый шар останавливается, а второй начинает двигаться со скоростью, которую первоначально имел первый шар. Открытие нейтронаВ 1932 г. Чэдвик исследовал свойства незаряженных частиц, излучаемых куском бериллия, который подвергался бомбардировке альфа-частицами. Когда частицы пропускаются через газ, естественно ожидать, что между этими неизвестными частицами и ядрами атомов газа должны происходить лобовые столкновения, подобные описанным выше.
Фиг. 122. Для выделения именно таких столкновений детектор помещался на линии выхода испускаемых бериллием частиц (фиг. 122). Поскольку Чэдвик не знал ни массу, ни скорость изучаемых частиц, для получения необходимой информации он пропускал эти частицы через два различных газа с известными массами атомов. Он использовал водород (ядра которого имеют массу
откуда следует, что
(Различие между этой и ранее рассмотренной задачей состоит в том, что массы сталкивающихся частиц не равны между собой.) Для азота получим таким же способом;
Деля (11.60) на (11.61), имеем
Чэдвик измерил отношение скоростей вылетающих из газа ядер и получил значение порядка 7,5, т.е.
или
Таким путем он пришел к выводу о существовании нейтрона, или незаряженной частицы, масса которой приблизительно равна массе протона.
|
1 |
Оглавление
|