УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ

Вернемся теперь к изучению столкновений частиц. Рассмотрим, в частности, столкновение двух частиц, чтобы проиллюстрировать полезность понятия кинетической энергии при классификации подобных столкновений. Результаты, которые мы получим, снова окажутся более общими, чем сама теория столкновений ньютоновских частиц (в этом заключается одна из причин, почему к этим результатам проявляется повышенный интерес). В дальнейшем мы используем их при изучении столкновений таких неньютоновских объектов, как атомные ядра. До этого мы исследовали столкновения, используя теорему о сохранении импульса, справедливую, если силы ньютоновские, или если действие равно противодействию. Теперь мы покажем, что если наложить более жесткие ограничения на силы, действующие между частицами (при этом, однако, остается еще достаточно широкий класс возможных сил, часто встречающихся на практике), то при столкновении будет выполняться закон сохранения кинетической энергии.

Теорема 11.4. Если силы, действующие между двумя телами, таковы, что их величина и направление зависят только от расстояния между телами, то кинетическая энергия до столкновения будет равна кинетической энергии после столкновения.

Так как кинетическая энергия во время столкновения не обязательно остается постоянной, следует договориться, что мы понимаем под выражениями «до столкновения», «во время столкновения» и «после столкновения». Сделаем это следующим образом. Предположим (это допущение вводится лишь из соображений простоты), что силы обращаются в нуль, когда тела достаточно далеко удалены друг от друга. Такое предположение представляется довольно реалистичным, если иметь в виду столкновение двух тел, так как мы полагаем, что тела не действуют друг на друга ни до, ни после соприкосновения.

В качестве примера силы, удовлетворяющей первому требованию, но не удовлетворяющей второму, можно назвать гравитационную силу, которая зависит лишь от расстояния между двумя телами, но не обращается в нуль ни при каком значении этого расстояния. Последнее обстоятельство, однако, не вызывает серьезных затруднений, и позже будет показано, как их можно преодолеть. В качестве примеров сил, зависящих не только от расстояния между двумя телами, можно привести силу трения между телом и столом или силу, с которой воздух действует на тело, движущееся в нем. Такие силы всегда направлены против движения, поэтому их направление зависит не только от положения тела, но и от направления его движения, т. е. они не удовлетворяют первому требованию.

Проведем доказательство теоремы для случая, когда силы, действующие между двумя частицами, т. е. силы, с которой одна частица воздействует на другую, направлены вдоль линии, соединяющей частицы. Такие силы называются центральными. Теорему можно распространить и на случай нецентральных сил.

Доказательство. Представим две частицы, приближающиеся вдоль линии и разлетающиеся вдоль Силы, с которыми частицы взаимодействуют друг с другом, направлены вдоль линий, соединяющих эти частицы, т. е. вдоль для налетающих и вдоль для разлетающихся частиц (фиг. 115). Суть доказательства состоит в следующем.

Фиг. 115. Частицы до и после столкновения.

Фиг. 116.

За любой промежуток времени (скажем, первая частица проходит путь а вторая — На фиг. 116 изображены сближающиеся частицы.

Обозначим силу, с которой частица 2 действовала на частицу 1 в течение этого промежутка времени, через на и а силу, с которой первая действовала на вторую, через на 2. Используя третий закон Ньютона, можно написать

Величину этой силы обозначим через Поэтому работа, совершенная над системой (т. е. работа над частицей 1 плюс работа над частицей 2), определяется из выражения

(Рабата отрицательна, так как в этом случае силы направлены против движения.

Фиг. 117.

Далее, векторы складываются как числа, потому что мы ограничились случаем сил, действующих вдоль линии, соединяющей частицы.) Но есть как раз изменение расстояния между двумя частицами, т. е. Поэтому

Это выражение показывает, что если расстояние между частицами равно [так что сила, зависящая только от есть то работа, совершаемая над частицами, которые сближаются на небольшое стояние равна (фиг. 117). Разлетаясь, частицы, находящиеся на расстоянии совершают друг над другом следующую работу:

поскольку при разлете расстояние между частицами не уменьшается, а возрастает; при сближении направление силы и направление движения совпадают, а при разлете они противоположны друг другу (фиг. 118). (В этом соль доказательства; для сил типа силы трения или сопротивления воздуха именно это условие не выполняется.) Таким образом, работа, совершаемая при уменьшении на равна

Фиг. 118. Знак работы, совершаемой налетающими частицами, противоположен знаку работы, совершаемой разлетающимися частицами.

тогда как при увеличении на М она равна

Сложив эти выражения, получим нуль. Поскольку такое же рассуждение можно провести для любых расстояний между частицами, суммарная работа равна нулю. Следовательно, по теореме 11.3, и полное изменение кинетической энергии системы равно нулю, что и требовалось доказать.

Поясним сказанное, рассмотрев, к примеру, столкновение двух бильярдных шаров. При столкновении шаров сила между ними действует лишь во время их соприкосновения. Она очень велика и стремится развести шары. (Сталкиваясь, шары немного сжимаются, и именно благодаря сопротивлению по отношению к этому сжатию появляется сила, стремящаяся их снова развести.) Разойдясь, шары вновь принимают свою первоначальную форму; именно из-за способности шаров распрямляться действующая между ними сила зависит только от расстояния между центрами шаров (фиг. 119).

Фиг. 119. Силы, действующие между упругими бильярдными шарами, зависят лишь От расстояния между шарами.

Если бы они не были упругими и деформировались, как два мягких тела, то силы, действующие во время расхождения шаров и при их сближении (при одинаковых расстояниях между их центрами), были бы совершенно различными. Таким образом, эти силы зависели бы не только от расстояния между центрами шаров, но еще и от того, сближаются или разлетаются частицы (фиг, 120).

Фиг. 120. Силы, действующие между двумя глиняными шарами (неупругими), ависят также от предыстории движения шаров.

Так возникло понятие упругие столкновения. При таких столкновениях упругое тело принимает после соударения свою первоначальную форму, т. е. сила, распрямляющая тело, равна силе, сжимающей его. Силы взаимодействия между такими телами зависят лишь от расстояния между ними. Теперь мы можем сформулировать нашу теорему в следующем виде:

Теорема 11.4. При упругих столкновениях кинетическая энергия остается постоянной.

Упругие столкновения представляют большой интерес, в част ности потому, что почти все столкновения между элементарными, или ядерными, частицами являются упругими. Причину такого характера столкновений нетрудно понять. Неупругость связана с необратимыми изменениями формы тела. Если тело не имеет внутренней структуры, его нельзя деформировать. Когда пытаются выделить элементарные или фундаментальные частицы, стараются иметь дело с такими объектами, которые совсем не обладают или почти не обладают внутренней структурой. Поэтому при изучении столкновений между такими частицами часто считают, что последние не имеют внутренней структуры, и так как деформироваться в этом случае нечему, соударения являются упругими. При исследовании таких столкновений можно воспользоваться тем, что полный импульс частиц сохраняется, а также тем, что кинетическая энергия до столкновения равна кинетической энергии после столкновения. Как мы увидим, эти два общих результата имеют важнейшее значение при изучении столкновений между элементарными частицами, если неизвестен характер взаимодействия между ними.

Фиг. 121.

Пример. В качестве интересного примера рассмотрим лобовое столкновение двух тел равной массы, когда одно из них вначале покоилось. (Такое столкновение иногда происходит на бильярдном столе, фиг. 121.) В этом случае

Соударение происходит вдоль прямой, поэтому все векторы складываются как числа, т. е.

или

Следовательно, сумма конечных скоростей равна начальной скорости. Далее, если столкновение упругое, начальная кинетическая энергия должна равняться конечной, т. е.

или

Таким образом, мы имеем два уравнения:

Могут ли они выполняться одновременно? Если считать, что бильярдные шары не могут проходить друг сквозь друга, то единственное решение этой системы имеет вид

и

(Показать, что полученное решение удовлетворяет обоим уравнениям, нетрудно, но гораздо сложнее доказать, что оно единственное.) Из него следует, что после столкновения первый шар останавливается, а второй начинает двигаться со скоростью, которую первоначально имел первый шар.

Открытие нейтрона

В 1932 г. Чэдвик исследовал свойства незаряженных частиц, излучаемых куском бериллия, который подвергался бомбардировке альфа-частицами. Когда частицы пропускаются через газ, естественно ожидать, что между этими неизвестными частицами и ядрами атомов газа должны происходить лобовые столкновения, подобные описанным выше.

Фиг. 122.

Для выделения именно таких столкновений детектор помещался на линии выхода испускаемых бериллием частиц (фиг. 122). Поскольку Чэдвик не знал ни массу, ни скорость изучаемых частиц, для получения необходимой информации он пропускал эти частицы через два различных газа с известными массами атомов. Он использовал водород (ядра которого имеют массу , т. е. массу протона) и азот (масса ядра равна . В случае водорода

откуда следует, что

(Различие между этой и ранее рассмотренной задачей состоит в том, что массы сталкивающихся частиц не равны между собой.)

Для азота получим таким же способом;

Деля (11.60) на (11.61), имеем

Чэдвик измерил отношение скоростей вылетающих из газа ядер и получил значение порядка 7,5, т.е.

или

Таким путем он пришел к выводу о существовании нейтрона, или незаряженной частицы, масса которой приблизительно равна массе протона.