ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Импульс, или количество движения, — фундаментальное понятие ньютоновской физики. Для частицы с массой он определяется следующей формулой:

Определение.

Второй закон Ньютона связывает действующую силу с изменением импульса:

Деля (11.1) на получаем

Если сила, действующая на частицу, равна нулю, изменение импульса также равно нулю. Это первый закон Ньютона.

Импульс силы

Изменение количества движения определяется произведением величины силы на время ее действия. Так, сила большой величины, действующая непродолжительно, может изменить импульс частицы так же, как и слабая сила, но действующая более длительное время. Оказывается полезным определить произведение силы, приложенной к телу, на время ее действия как импульс силы.

Определение. Импульс силы .

Если сила постоянна по величине и направлению, то величина полного импульса силы за время есть:

Численно она совпадает с площадью, заштрихованной на фиг. 92. Как правило, сила изменяется со временем.

Фиг. 92.

Фиг. 93.

Если ее направление при этом остается постоянным, то величина полного импульса силы определяется площадью под кривой, которая описывает зависимость силы от

времени. Эту площадь можно приближенно вычислить, разбивая отрезок времени на малых интервалов (фиг. 93). Тогда величина полного импульса силы будет равна сумме отдельных импульсов за время при стремлении к нулю:

При уменьшении временных интервалов эта величина будет с любой желаемой точностью совпадать с площадью под кривой зависимости силы от времени. В наиболее общем случае, когда сила изменяется как по величине, так и по направлению, вектор полного импульса силы определяется как векторная сумма импульсов за малые временные интервалы на которые был разбит весь отрезок времени.

Определение. Полный импульс силы

Из определения видно, что полный импульс силы — вектор.

Теорема 11.1. Полный импульс силы, приложенной к телу, равен полному изменению его количества движения.

Эта теорема сразу же следует из второго закона:

При этом существенно помнить, что написанное уравнение должно выполняться в любой момент времени. Поэтому если обозначить силу, действующую в момент через то изменение количества движения за интервал будет равно

Такие же формулы справедливы и для

Здесь, как и раньше, отрезок времени был разбит на малых интервалов Сложив все эти уравнения, получим

Левая часть этого уравнения равна по определению полному импульсу

силы, а правая — полному изменению количества движения. Следовательно,

Полное изменение количества движения (конечный импульс минус начальный) можно представить в виде

Если масса тела остается постоянной, то его конечный и начальный импульсы соответственно

и теорема принимает вид

Пример 1. Предположим, что бейсбольный мяч весом в 0,5 кг, летевший на отбивающего со скоростью отскакивает после его удара точно в сторону подающего со скоростью Пока подающий размышляет, приземлить ему мяч или нет, производитель бейсбольных мячей, сидящий на трибуне, пытается вычислить силу удара отбивающего.

Фиг. 94.

Эту силу определить не просто. Ясно, что она действует весьма непродолжительно и ее величина резко изменяется со временем. Однако импульс силы, действующий со стороны биты на мяч (площадь под изображенной на фиг. 94 кривой), легко вычислить с помощью теоремы 11.1. Так как масса мяча не изменяется,

Масса мяча равна 0,5 кг. Конечная скорость —

Начальная скорость —

Следовательно, величина полного импульса равна

Теперь фабрикант оценивает, что бита касалась мяча не более 1/10 с

(это значение довольно произвольно), откуда он заключает, что сила, действовавшая на мяч, импульс которой равнялся была в какой-то момент касания не меньше 300 Н.

Пример 2. Зачем нужны предохранительные ремни? Во время автомобильной катастрофы машина, двигавшаяся со скоростью останавливается, скажем, за 2 с. Что происходит при этом с пассажиром? Если пассажир останавливается вместе с машиной и остается на своем месте, то на него должна была бы подействовать сила, величину которой можно вычислить следующим образом.

Допустим, что масса пассажира 70 кг. Так как конечный импульс пассажира равен нулю, изменение его импульса составляет

в направлении, обратном направлению начального импульса. Такое изменение импульса производит постоянная сила, действующая в течение 2 с, следовательно,

Таким образом, чтобы остановить пассажира вместе с автомобилем, к нему необходимо приложить силу в 1050 Н, которая значительно больше, чем сила трения, возникающая между сиденьем автомобиля и брюками пассажира.

Фиг. 95.

Фиг. 96.

Если к пассажиру не прикладывается сила, он продолжает двигаться равномерно по прямой линии, в то время как автомобиль, в котором он находится, резко тормозится. К моменту, когда пассажир натыкается на ветровое стекло или приборную панель, автомобиль уже успевает немного замедлиться. Нетрудно вычислить, через какой промежуток времени после начала торможения пассажир разбивает ветровое стекло. Пусть — расстояния, которые проходят соответственно пассажир и ветровое стекло за время (фиг. 96). Тогда Так как пассажир движется равномерно со скоростью

(будем считать, что сиденье очень скользкое и не оказывает никакого сопротивления движению), то

Ветровое стекло ускоряется (если хотите, замедляется) с постоянным ускорением в

Поэтому расстояние, которое оно проходит за время (вспомните результат Галилея для случая, когда ускорение направлено в сторону, противоположную направлению начальной скорости), равно

Отсюда

или

т. е.

Следовательно,

За с автомобиль замедлится на

Фиг. 97. «Но они действительно спасают жизнь. Это, должно быть, исключение из правила».

Поэтому, чтобы пассажир, приблизившийся к ветровому стеклу, замедлился до скорости автомобиля за , на него должна подействовать сила

помимо силы в 1050 Н, необходимой для остановки пассажира вместе с автомобилем. Иными словами, суммарная сила, приложенная к пассажиру, равна 2170 Н! Вот для чего нужны привязные ремни.

Импульс системы многих тел

Импульс одного тела равен произведению его массы на скорость. Допустим теперь, что имеется тел; полный импульс такой системы определяется как сумма всех отдельных импульсов:

Для двух тел

В качестве примера рассмотрим два тела (фиг. 98). Полный импульс тел

1 и 2 равен векторной сумме (фиг. 99). В следующем примере полный импульс двух тел, имеющих равные, но противоположно направленные импульсы, обращается в нуль (фиг. 100).

Фиг. 98.

Фиг. 99.

Фиг. 100.

Теперь, используя третий закон Ньютона, докажем следующую теорему:

Теорема 11.2 (закон сохранения импульса). В отсутствие внешних сил полный импульс системы частиц остается постоянным.

Доказательство. Проведем доказательство для частного случая двух тел 1), так как оно содержит основную идею и может быть легко обобщено на случай многих тел.

Пусть тело 1 обладает импульсом а тело 2 — импульсом Полный импульс системы двух тел

Необходимо доказать, что любое изменение импульса тела 1 равно и направлено противоположно изменению импульса тела 2. Это можно сделать следующим образом.

Рассмотрим тело 1. Любое изменение его импульса происходит под действием на него силы со стороны тела 2, которую обозначим (так как, кроме этих двух тел, других тел нет). Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса тела 1

В течение этого же промежутка времени тело 1 действовало с силой

на 2 на тело 2, в результате чего импульс последнего изменился на величину

Полное изменение импульса системы равно

или, используя полученные выражения,

Если действующие силы подчиняются третьему закону, то сила

т. е.

Отсюда следует, что

что и требовалось доказать.

Так как изменение полного импульса (количества движения) равно нулю за любой интервал времени, импульс системы сохраняет свое первоначальное значение. (Если импульс не изменяется, то его значение равно начальному)

Фиг. 101. Необходимо учитывать все тела, вызывающие действие сил. В случае ядра, падающего на Землю, сила тяготения действует на ядро, а к Земле приложена такая же, но противоположно направленная сила. Земля, однако, практически не смещается.

Полученный результат чрезвычайно важен. Мы показали, что существует величина, называемая полным импульсом системы, которая остается постоянной независимо от того, что происходит с системой (и какой бы сложной она ни была). Если тела сталкиваются, если происходит взрыв, чтобы ни случилось, импульс остается прежним. Мы увидим, что этот результат позволяет проанализировать движение тел, даже когда силы неизвестны. Он является одним из многих общих результатов, лежащих в основе физики, которые гласят, что движение тел подчиняется определенным общим правилам, вытекающим из характера действующих сил, даже если подробности движения и природа сил нам неизвестны. В данном случае полный импульс системы сохраняется, так как любые силы независимо от их природы подчиняются третьему закону Ньютона.

Теорема о сохранении импульса оказывается более фундаментальной, чем третий закон, из которого она следует. С точки зрения современной физики закон сохранения импульса непосредственно связан с тем, что пространство однородно — его свойства не меняются при переходе от одной точки к другой. Он остается справедливым даже тогда, когда у нас нет достаточных оснований считать, что действующие силы являются строго ньютоновскими. Та последовательность, в которой исторически рождались те или иные предположения, не всегда соответствует их действительной значимости.