ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Полученный важный результат — совершаемая работа зависит только от начального и конечного положений тела — может быть представлен более формально: величина работы консервативных сил при перемещении тела из точки а в точку взятая со знаком минус (или разность потенциальных энергий в точках является функцией только

Сказать, что нечто является функций только (зависит только от) какой-то величины, равносильно очень сильному и жесткому утверждению, которое, правда, оставляет некоторый произвол, так как число возможных функций велико. В данном случае такое утверждение соответствует вовсе не очевидному предположению, что работа не зависит ни от пути, ни от начальной скорости и т. д. Она зависит только от

начальной и конечной точек. Поэтому можно написать, что

где V обозначает потенциальную энергию, зависящую только от точки, в которой она определяется. (Тем самым мы приписываем каждой точке пространства определенное свойство, оказывающее влияние на движение тел. Позднее из этого мы разовьем понятие поля.) Тогда соотношение

можно записать в виде

или

Для частицы, движущейся под действием гравитационной силы, данное уравнение принимает вид

До сих пор мы имели дело лишь с разностью потенциальных энергий в двух точках. Попытаемся теперь приписать некий смысл понятию потенциальной энергии в одной точке, т. е. Определим потенциальную энергию в точке Р как разность потенциальных энергий в какой-то фиксированной (но произвольной) точке О и точке Р. Положение точки О можно выбирать из тех соображений, чтобы потенциальная

энергия имела наиболее простой вид, так как смещение фиксированной точки изменяет потенциальную энергию на постоянную величину, не зависящую от положения точки Р (фиг. 131).

Фиг. 131.

Предположим, что в качестве фиксированной точки мы выбрали сначала точку О; тогда потенциальная энергия в равна работе со знаком минус на пути от О до потенциальная энергия в равна работе со знаком минус на пути от Если теперь зафиксировать точку О, то потенциальная энергия в будет равна работе Со знаком минус между О и О плюс работа со знаком минус между О и Потенциальная энергия в точке будет равна работе со знаком минус на пути от О до О плюс работа со знаком минус от О до х и т. д.:

Но работа на пути от О до О не зависит от точки х. Следовательно, при замене фиксированной точки О на О потенциальная энергия во всех точках изменяется на постоянную величину, равную работе со знаком минус на пути от О до О. Это означает, что если мы вычислим потенциальную энергию относительно одной фиксированной точки, а затем вычислим ее же относительно другой точки, то значения потенциальных энергий в этих двух случаях будут различаться на постоянную величину. Выбор фиксированной точки несуществен, так как при практическом использовании потенциальной энергии приходится всегда вычитать значение потенциальной энергии в одной точке из ее значения в другой точке, так что постоянная выпадает из уравнений

Таким образом, нам удалось найти ту величину, которая независимо от изменений кинетической энергии остается постоянной при движении системы:

Мы можем теперь ввести следующее определение механической энергии Е:

Определение. Механическая энергия

Именно механическая энергия системы Е остается постоянной при движении.

Из определения потенциальной энергии следует, что она измеряется в тех же единицах, что и работа (поскольку потенциальная энергия равна работе со знаком минус при перемещении из одной точки в другую). Следовательно, потенциальная энергия измеряется в эргах (СГС) и джоулях (МКС). Потенциальная энергия частицы с массой покоящейся на высоте 10 см над поверхностью Земли (фиксированная точка выбрана на поверхности), равна:

Из теоремы 11.3 следует (работа, произведенная над телом, равна изменению его кинетической энергии), что кинетическая энергия тела тоже измеряется в единицах работы джоуль). Так, кинетическая энергия тела массой движущегося со скоростью 10 см/с, равна

Таким образом, механическая энергия Е, будучи суммой Т и V, тоже должна измеряться в тех же единицах работы джоуль).

Частица с массой на которую действует сила притяжения Земли, обладает энергией

где х — расстояние частицы от поверхности Земли, — ее скорость в точке х. Если она покоится на высоте 10 см над поверхностью Земли, то

Если теперь отпустить частицу, то, достигнув Земли, она наберет кинетическую энергию, равную начальной потенциальной, так как потенциальная энергия частицы на поверхности Земли равна нулю, а полная энергия должна оставаться постоянной. Таким образом,

откуда

Мы теперь в состоянии сформулировать для ньютоновских систем

Закон сохранения энергии. Если на систему действуют консервативные силы, то энергия системы, определенная как сумма кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной при ее движении.

Как и в случае импульса, энергия для механических систем, определенная указанным выше образом, оказывается гораздо более общим понятием, чем те исходные предпосылки, на основании которых она была введена. Понятие энергии и закон сохранения энергии остаются справедливыми в обобщенном виде для систем, которые не являются ньютоновскими, и для сил с гораздо более сложной структурой, чем рассмотренные нами. Таким образом, понятия импульса и энергии, введенные в теории движения ньютоновских или декартовых частиц, в действительности оказываются более глубокими, чем сама теория.

Энергию системы многих частиц можно определить следующим образом:

Иначе говоря, эта энергия равна сумме кинетических энергий всех частиц плюс потенциальная энергия, которая зависит от положений всех частиц. С помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, можно показать, что введенная таким образом энергия остается постоянной при движении системы из многих частиц.