ДИНАМИКА: ТВЕРДЫЕ ТЕЛА В ДВИЖЕНИИ

Динамика твердых тел чрезвычайно сложна. Клейн и Зоммерфельд, к примеру, посвятили целых четыре тома только движению волчков — их читают те, кто меньше всего склонен забавляться этими игрушками. Полученные выше результаты могут быть широко и с успехом использованы при объяснении движения таких твердых тел, как волчок, гироскоп или Земля. Сейчас мы намереваемся вывести некоторые простейшие следствия из этих результатов с тем, чтобы применить их для описания некоторых движений; правда, эти движения скоро окажутся настолько сложными, что нам придется ограничиваться лишь рисунками.

Фиг. 177.

Снова рассмотрим гантель, каждая часть которой вращается со скоростью V. Эта система обладает угловым моментом

Допустим, что гантель устроена так, что ее массы можно приблизить к центру, не прикладывая к ним никакого момента сил. (Этого можно добиться, сближая массы, например, при помощи веревки или увеличивая приложенные к ним внутренние силы при помощи пружины, как показано на фиг. 177.) Так как полный момент сил равен нулю, угловой момент системы, согласно теореме 14.2, должен остаться постоянным. Поскольку и остаются постоянными, в то время как уменьшается, скорость вращения должна увеличиться:

Следовательно, при уменьшении радиуса скорость вращения гантели растет обратно пропорционально Если массы снова возвратятся в исходное положение, скорость тоже примет начальное значение, так как к телу опять не приложен момент сил, а величина углового момента должна была остаться неизменной.

Этот результат, кажущийся любопытным и несколько загадочным, иллюстрирует плодотворность полученных теорем и те проблемы, с которыми сталкивались при их выводе.

Фиг. 178.

Нельзя не согласиться, что гантель должна вращаться быстрее при уменьшении ее радиуса, если не сомневаться в справедливости теоремы 14.2. Очевидно, если весь ход рассуждений был верным, то же самое должно следовать и из законов движения, примененных к каждой части тела (фиг. 178).

Для того чтобы разобраться в этом и одновременно убедиться, что результат не содержит в себе ничего загадочного, а должен вызывать только приятное удивление, выведем его непосредственно из второго закона Ньютона (фиг. 179).

Фиг. 179.

Фиг. 180.

Рассмотрим, например, частицу На нее действует единственная сила Так как движение частицы круговое (радиус вращения постоянный), величина должна обеспечивать лишь ускорение частицы, необходимое для движения по окружности:

Чтобы частица 1 приблизилась к центру, эта сила должна возрасти. Затем частица начнет двигаться по некруговой траектории (фиг. 180).

При перемещении частицы по этой траектории внутренняя сила производит над ней работу, так как направление движения уже не перпендикулярно направлению силы. В результате кинетическая энергия частицы, а следовательно, и ее скорость возрастут. Когда частица вращается по новой (меньшей) круговой орбите, величина внутренней силы больше, чем была вначале (это отвечает меньшему радиусу и большей скорости вращения).

Соотношение (14.19) между радиусом и скоростью вращения можно получить из второго закона при помощи прямых (хотя и не совсем простых) вычислений. Таким образом, этот результат, вообще говоря, несколько неожиданный, непосредственно вытекает из законов Ньютона, примененных к движению каждой части тела; это лишний раз свидетельствует о пользе и результативности выведенных теорем, позволяющих получать те же результаты буквально на двух строчках, с небольшими затратами сил и размышлений.

Фиг. 181.

Фигуристка, управляя своими движениями, как правило, не задумываясь, использует данный принцип. Когда руки фигуристки разведены в стороны (фиг. 181), ее масса в среднем находится дальше от центра туловища, чем в случае, когда руки прижаты к груди. Отталкиваясь от льда, она начинает медленно крутиться с разведенными в разные стороны руками, а затем, вращаясь на одном коньке, может увеличить скорость своего кручения, прижав руки к туловищу. Чтобы остановиться, фигуристка замедляет свое вращение, снова выбрасывая руки в разные стороны.

Земля, вращаясь в почти пустом пространстве нашей солнечной системы, практически не подвержена действию каких-либо сил, способствующих кручению. Поэтому ее угловой момент остается практически неизменным, и она продолжает вращаться.

Пожалуй, единственной причиной возникновения крутящих моментов является воздействие гравитационных сил Луны и Солнца на неидеально сферическую Землю. Подобные моменты сил когда-то замедлили вращение Луны, так что теперь она совершает полный оборот лишь за целый лунный месяц (и поэтому всегда повернута к Земле одной стороной). Аналогичный эффект уменьшения скорости вращения Земли практически незаметен, так как масса Земли значительно больше массы Луны. Земные сутки уменьшаются менее чем на с за столетие. Другое проявление действия этих моментов — прецессия земной оси, изменяющей свое направление от одной звезды к другой (в настоящее время ось направлена на Полярную звезду) — будет рассмотрено позже.

Гироскоп

Можно подвесить маховое колесо на такой подставке, которая не оказывает практически никакого сопротивления вращению колеса и относительно которой колесо может быть повернуто в любом направлении. Для этого используют три подвески (соответствующие трем измерениям нашего пространства). Такое устройство называют гироскопом (фиг. 182). Пренебрегая трением, можно считать, что к колесу гироскопа не приложены никакие моменты сил. А это означает, что ось вращения будет всегда сохранять свое первоначальное направление в пространстве, и, как бы ни двигалась подставка, направление оси гироскопа останется неизменным. (Главная техническая задача при изготовлении гироскопов состоит в максимальном уменьшении действующих на них моментов сил, чтобы угловые моменты гироскопов могли при вращении оставаться постоянными.)

Фиг. 182.

Гироскопы находят широкое применение в тех случаях, когда требуется выдерживать строго определенное направление. Например, ракета может вращаться на активном участке траектории, подводная лодка может быть повернута морскими течениями, однако, если на корабле есть гироскоп (фиг. 183), капитан никогда не потеряет направление на север. Самолетный автопилот действует по тому же принципу. В густом тумане летчик может полностью потерять ориентацию (бывают случаи, когда пилоты перестают понимать, летят ли они вверх или вниз). Сверяя направления осей гироскопов (допустим, ось одного из них направлена вниз, а ось другого — на север) с направлением движения самолета, автопилот фиксирует любые отклонения движения от заданного курса и вносит в него нужные поправки.

Фиг. 183.

Как и в случае сил и импульсов, момент силы может изменить величину и/или направление углового момента. Однако результат действия момента силы может показаться неожиданным. Если момент силы действует в направлении углового момента, то при этом изменяется лишь величина углового момента (увеличивается, если момент силы направлен по угловому моменту, и уменьшается в противоположном случае, фиг. 184). Направление же углового момента не меняется. Это напоминает действие силы, параллельной направлению движения

частицы, когда скорость частицы уменьшается или увеличивается, а ее направление остается неизменным.

Если направления момента силы и углового момента не совпадают, угловой момент может изменяться как по величине, так, возможно, и по направлению.

Фиг. 184.

Так как в обыденной жизни мы редко наблюдаем подобные явления, результат действия момента силы может показаться довольно странным (фиг. 185).

Рассмотрим удивительное движение гироскопа, ось которого закреплена в точке Р на другой вертикальной оси (фиг. 186). Момент силы тяжести, приложенной к гироскопу, относительно точки Р

Следовательно, момент силы, перпендикулярный направлению углового момента, изменяет это направление в сторону момента силы. Если правильно запустить гироскоп, то он (помимо быстрого вращения маховика) начнет обращаться вокруг точки подвеса Р, при этом направление углового момента изменяется в сторону действия момента силы. Такое движение называют прецессией (фиг. 187). Скорость прецессии определяется из формулы

Так, при прочих равных условиях больший момент сил обусловливает более быстрое изменение углового момента, а вследствие этого и большую скорость прецессии.

В общем случае

Если момент силы изменяет только направление углового момента (если он всегда остается перпендикулярным направлению углового момента), то скорость прецессии можно вычислить следующим образом. Для малого промежутка времени (когда длину дуги можно заменить

длиной хорды) величина равна (фиг. 188)

т. е.

Скорость прецессии (пройденный за единицу времени угол)

Иногда бывает удобнее использовать частоту прецессии (число оборотов в секунду), обозначаемую буквой и равную Тогда для частоты получим

Фиг. 185. При попытке поднять колесо человек, стоящий на вертящемся табурете, неожиданно для себя начинает вращаться. Табурет поворачивается, поскольку полный угловой момент в вертикальном направлении должен сохраняться.

Допустим, что гироскоп представляет вращающееся колесо радиусом и массой М с невесомыми спицами и подвешенное, как показано на фиг. 189. Момент силы относительно точки подвеса Р

и направлен перпендикулярно угловому моменту вращающегося колеса, равному по величине Тогда частота прецессии

и не зависит от массы колеса. Пусть, например, колесо имеет радиус 2 см и подвешено на стержне длиной 4 см. Скорость вращения колеса 20 оборотов в секунду, откуда

Тогда частота прецессии

Равномерная прецессия описывается как частное решение уравнений движения и наблюдается только в том случае, когда гироскоп

запущен надлежащим образом. Если в момент запуска гироскопа его ось получает толчок в горизонтальном направлении, то сначала она слегка наклонится, а затем, прецессируя, будет колебаться вверх и вниз.

Фиг. 186.

Обычно такие малые колебания, называемые нутацией, затухают под действием сил трения и гироскоп продолжает равномерно прецессировать.

Фиг. 187.

Фиг. 188.

Волчок (фиг. 190) тоже обладает угловым моментом, так как он быстро вращается. Момент гравитационной силы (приложенной к центру масс) относительно точки опоры волчка может, как и в случае гироскопа, изменить направление его углового момента (в сторону момента силы), в результате чего, если волчок был запущен правильно, он начнет равномерно прецессировать.

Фиг. 189.

В случае более сложного движения (например, когда волчок касается пола) на прецессию волчка накладывается нутация, которая вызывает колебания его оси, известные любому ребенку.

Землю тоже можно рассматривать как гироскоп или волчок. Если бы она обладала строго сферической формой, то возмущающая гравитационная сила была бы приложена к центру планеты и не создавала бы крутящего момента. В результате угловой момент Земли оставался бы постоянным, и ее ось вращения была бы всегда направлена на одну и ту же звезду, если, конечно, эта звезда находилась бы достаточно далеко, чтобы ее видимое положение на небе не изменялось из-за движения Земли по орбите вокруг Солнца. В настоящее время Северный полюс Земли смотрит на Полярную звезду (фиг. 191). Однако так было не всегда. Во втором веке до нашей эры Гиппарх обнаружил, что его предшественники наблюдали иную, чем он, неподвижную точку на небе. Сейчас эта точка совпадает с положением Полярной звезды, а 5000 лет тому назад она находилась в районе звезды Тубан. В 7500 г. она будет совпадать с самой яркой звездой созвездия Цефей, а в 14 000 г. полярной звездой окажется Вега (фиг. 192).

Фиг. 190.

Фиг. 191.

Чтобы понять это, заметим, что Земля не является идеальной сферой, а сплющена у полюсов; далее, ее ось вращения наклонена на 23° относительно перпендикуляра к плоскости ее орбиты. Из-за этого гравитационная сила Солнца сильнее притягивает ближнюю к нему сторону Земли, чем дальнюю, в результате чего возникает момент силы, вызывающий прецессию земной оси (фиг. 193). Если бы на Землю действовала только сила притяжения Солнца, период прецессии составил бы приблизительно 80000 лет. Однако движение Земли

возмущается еще и притяжением Луны, которая хотя и меньше Солнца, но зато находится гораздо ближе к Земле, так что момент ее силы притяжения оказывается величиной такого же порядка, как и у Солнца. Суммарный момент сил притяжения Луны и Солнца вызывает прецессию земной оси с периодом порядка 26 000 лет (фиг. 194).

Фиг. 192. Путь Северного полюса среди звезд из-за прецессии земной оси [2].

Таким образом, наша Земля, которая считалась когда-то центром Вселенной, которая притягивала или отталкивала все тела, вокруг которой обращались Солнце, планеты и звезды, на деле подчиняется воле Солнца и Луны и мчится в пространстве среди мириадов планет и звезд бесконечной Вселенной.

Фиг. 193.

Она, подобно игрушечному волчку, прецессирует и даже, если внимательно приглядеться, совершает небольшие нутационные колебания.

Скорость прецессии земной оси, вызванной неравномерным притяжением Земли к Солнцу, может быть приближенно вычислена следующим образом. Масса Земли сосредоточена ближе к экватору, и именно эта неравномерность распределения массы приводит к появлению момента силы притяжения Солнца. (Этот момент не возник бы, если бы Земля была сферой.) Под действием момента силы, приложенного к избытку массы на экваторе угловой момент вращающейся Земли изменяется (фиг. 195).

Если избыточную массу считать сосредоточенной в двух точечных массах, расположенных на экваторе (фиг. 196), то действующий зимой или летом момент можно вычислить так:

— сила притяжения Солнцем массы находящейся от него на расстоянии

- сила притяжения Солнцем верхней точечной массы

— сила притяжения Солнцем нижней точечной массы

Последние два выражения можно приближенно записать в виде:

сила, действующая на верхнюю массу (величина)

Фиг. 194.

(Это приближение обеспечивает весьма высокую точность. Сила, действующая на верхнюю массу, меньше, так как масса находится дальше от Солнца.) Величина момента этих сил равна

Учтем теперь, что избыточная масса в действительности распределена по кольцу, а не сосредоточена в точках (т. е. и длина плеча на самом деле меньше), и что момент силы равен своему максимальному значению лишь во время зимнего и летнего солнцестояний (в периоды весеннего и осеннего равноденствия он равен нулю). В результате

среднее значение момента за год оказывается примерно в 8/3 раза меньше, чем значение, получающееся из (14.25), т. е.

Этот средний момент можно связать с периодом обращения Земли вокруг Солнца (равным 1 году). Так как

то

но период обращения Земли

поэтому

Следовательно,

Если бы вся масса Земли была сконцентрирована в кольце, охватывающем Землю по экватору, ее угловой момент равнялся бы (здесь — скорость вращения Земли на экваторе).

Фиг. 195.

Фиг. 196.

Однако на самом деле эта масса распределена по сфере (фактически это означает, что средняя скорость и среднее расстояние на

экваторе от центра несколько меньше), поэтому угловой момент сферической Земли определяется по формуле

Угловой момент можно связать с периодом вращения Земли (1 день):

Отсюда

Момент силы изменяет направление (но не величину) той компоненты углового момента Земли, , которая лежит в плоскости земной орбиты, что приводит (как и в случае гироскопа) к прецессии:

Фиг. 197. «Ужасная трагедия — яблоко упало ему на голову».

Поэтому

где — период прецессии земной оси, обусловленной моментом силы притяжения Солнца. Подставляя в (14.37) выражения (14.32) и (14.35), получаем

или

Из измерений окружности Земли по экватору и меридиану следует оценка

Поэтому окончательно