МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАЧАЛА НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I

Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объему ее [2].

Количество материи называется теперь массой и обозначается буквой т. Масса известных нам тел равна, согласно Ньютону, произведению плотности тела на его объем:

Так, удвоенный объем какого-либо вещества имеет удвоенную массу, равные же объемы различных веществ обладают различными массами, так как плотности веществ не одинаковы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II

Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе [3].

Количество движения называется теперь импульсом и обозначается вектором

Таким образом, для вектора импульса

Импульс тела постоянной массы может изменяться при изменении скорости или направления его движения. Поэтому тело, движущееся, например, на север со скоростью 50 км/ч, испытывает изменение импульса, если его скорость возрастет до 60 км/ч или оно повернет на восток, не изменив при этом своей скорости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ IV

Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Сила проявляется единственно только в действии и по прекращении действия в теле не остается. Тело продолжает затем удерживать свое новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы [4].

Согласно Ньютону (это станет ясным позднее), сила должна рассматриваться как вектор; далее он пытается различать силу и инерцию, т. е. два понятия, которые до него не были четко разделены.

Затем Ньютон вводит положения, которые он называет аксиомами, или законами движения. Они являются постулатами его теории.

ЗАКОН I

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Брошенное тело продолжает удерживать свое движение, поскольку его не замедляет сопротивление воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело вниз. Волчок, коего части вследствие взаимного сцепления отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает вращаться (равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха. Большие же массы планет и комет, встречая меньшее сопротивление в свободном пространстве, сохраняют свое как поступательное, так и вращательное движения в продолжение гораздо большего времени [5].

Этот постулат есть закон инерции, определяющий естественное движение тел в новой физике.

ЗАКОН II

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная — тройное, будут ли они приложены разом все вместе или же последовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движения тела, бывшему ранее, при противоположности вычитается, при наклонности прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее сообразно величине и направлению каждого из них [6].

Это знаменитый второй закон Ньютона. Он отвечает на вопрос: как изменяется движение тела под действием приложенной к нему силы? Изменение движения (импульса), как и предполагал Галилей, пропорционально моменту силы (по Ньютону момент силы равен произведению силы на время ее действия) и направлено вдоль направления силы, т. е.

В этом одном уравнении содержится весь глубокий смысл теории Ньютона.

Последний закон движения по существу устанавливает характер сил в природе.

ЗАКОН III

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

Если что-либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется. Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем. Если лошадь тащит камень, привязанный к канату, то и, обратно (если можно так выразиться), она с равным усилием оттягивается к камню, ибо натянутый канат своею упругостью производит одинаковое усилие на лошадь в сторону камня и на камень в сторону лошади, и насколько этот канат препятствует движению лошади вперед, настолько же он побуждает движение вперед камня. Если какое-нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в

своем собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений, как это будет доказано в поучении [7].

Далее приводится несколько следствий, первое из которых явно показывает, что Ньютон рассматривал силы как векторы.

СЛЕДСТВИЕ 1

При силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в то же самое время, как его стороны при раздельных.

Если тело при действии в месте А одной только силы М перенеслось бы в продолжение заданного промежутка времени равномерным движением из А в В и если бы при действии в том же месте одной только силы оно перенеслось бы из А в С, то при действии обеих сил оно перенесется в то же самое время из А в по диагонали параллелограмма

Фиг. 28 (взято из [2]).

Так как сила действует по направлению прямой параллельной то по второму Закону эта сила М нисколько не изменит той скорости приближения к прямой которая была произведена первою силою. Следовательно, тело в продолжение данного времени достигнет до линии была ли сила приложена или нет. На основании такого же рассуждения к концу того же промежутка времени тело должно находиться и где-либо на прямой следовательно, оно должно быть в их пересечении Переходит же оно из А в прямолинейно на основании первого закона [8].

Слегка перефразируя слова Ньютона, можно сказать, что результат действия на тело двух сил таков же, как и суммарный результат их действия по отдельности вдоль сторон параллелограмма, или что действие двух сил в течение интервала времени аналогично действию другой силы в течение того же интервала, т. е. силы

складываются по правилу

Но оно в точности совпадает с правилом сложения векторов, введенным в гл. 3 (фиг. 29).

Фиг. 29.

Затем Ньютон приводит некоторые пояснения, как ему удалось получить все эти законы.

ПОУЧЕНИЕ

До сих пор я излагал начала, принятые математиками и подтверждаемые многочисленными опытами. Пользуясь первыми двумя законами и первыми двумя следствиями, Галилей нашел, что падение тел пропорционально квадрату времени и что движение брошенных тел происходит по параболе; это подтверждается опытом, поскольку такое движение не претерпевает существенного замедления от сопротивления воздуха. При падении тела сила тяжести в отдельные равные между собою весьма малые промежутки времени, действуя одинаково, сообщает этому телу равные количества движения и производит равные скорости, следовательно, за все время движения она сообщает телу полные количества движения и скорости, пропорциональные времени. Пространства, проходимые в пропорциональные времена, будут относиться как произведения скорости и времени, т. е. как квадраты времени. Телу, подброшенному вверх (вертикально), тяжесть сообщает равномерно количества движения, пропорциональные времени, и уменьшает скорость также пропорционально времени, так что времена подъема до наибольшей высоты пропорциональны той скорости, которая подлежит уничтожению, самые же эти высоты пропорциональны скорости и времени, т. е. пропорциональны квадрату скорости.

Движение тела, брошенного по какой-нибудь прямой (наклонной к горизонту), слагается из движения по этой прямой, происходящего от начального толчка, и из движения, происходящего от силы тяжести. Так, если бы тело А в своем движении только от толчка описало в данное время прямолинейный путь под влиянием же только силы тяжести, падая вниз, — путь то, дополнив параллелограмм получимвточке место тела в конце рассматриваемого времени. Кривая описанная телом, есть касающаяся прямой в точке А парабола, ордината коей пропорциональна

От тех же Законов и Следствий зависят известные свойства времен качаний маятников, которые подтверждаются ежедневным опытом с часами.

Из этих же двух Законов и из третьего кавалер Христофер Рен, Иоанн Уаллис S. Т. D. (доктор богословия) и Христиан Гюйгенс, величайшие геометры нашего времени, вывели законы удара и отражения тел и почти одновременно сообщили их Королевскому обществу, причем их выводы, во всем касающиеся этих законов, между собою согласны. По времени обнародования найденного Уаллис был первым, затем следовал Рен, затем — Гюйгенс. Справедливость этих законов была подтверждена Реном перед Королевским обществом опытами с маятниками. Эти опыты были затем признаны знаменитым Мариоттом достойными быть изложенными в его книге, целиком посвященной этому предмету [9].

Фиг. 30 (взято из [2]).

Количество движения (импульс) является фундаментальным понятием теории Ньютона:

а ее главной проблемой — вопрос: как изменяется импульс тела под действием приложенных к нему сил? Когда на тело не действует сила, его количество движения (импульс) сохраняется (первый закон). Если же сила действует, импульс тела изменяется таким образом, что произведение силы на время ее действия оказывается равным изменению импульса:

Деля обе части равенства на получаем

Если масса движущегося тела постоянна (важный частный случай), то можно написать

так как равно по определению ускорению тела. Когда из (4.6) следует, что

или

т. е. тело движется равномерно. Следовательно, первый закон движения является следствием второго, когда приложенная сила равна нулю. Ньютон тем не менее рассматривал эти законы раздельно, подчеркивая тем самым важность первого закона. Этим он демонстрирует свое решение рассматривать все движения тел, используя лишь приложенные к ним силы и изменения их импульсов.

Из уравнения (4.6) можно сразу же получить несколько следствий. Когда сила равна нулю, скорость постоянна, что согласуется с первым законом. Изменение скорости направлено вдоль приложенной силы. В обеих частях уравнения (4.6) фигурируют векторы, так как нельзя написать уравнение, в котором бы вектор приравнивался, например, числу. Если сила постоянна, то постоянно и ускорение; следовательно, тела, падающие вблизи земной поверхности, испытывают действие постоянной силы.

Если к телу прикладывается сила, то это тело изменяет свое движение в направлении действия силы.

1. Если тело покоилось, то оно начинает двигаться в сторону действия силы (фиг. 31).

Фиг. 31.

Фиг. 32.

2. Если тело первоначально двигалось со скоростью (фиг. 32), то

а) скорость тела возрастает, когда направление силы совпадает с направлением скорости (фиг. 33);

Фиг. 33.

Фиг. 34.

б) скорость тела уменьшается, когда направление силы противоположно направлению скорости (фиг. 34);

в) величина и направление скорости могут измениться, когда сила направлена под углом к вектору скорости (фиг. 35).

Фиг. 35.

Фиг. 36.

Скорость тела можно изменить, не изменяя направления его движения, если к нему приложить силу, направление которой совпадает или противоположно направлению А можно ли изменить направление движения, не изменяя скорость тела? Да, можно; для этого к нему следует приложить силу, которая не имеет составляющей по направлению движения, т. е. силу, перпендикулярную скорости (фиг. 36). Вектор скорости изменил направление, но величина его осталась прежней. Под действием силы вектор скорости поворачивается, касаясь окружности. Здесь, однако, следует иметь в виду одну тонкость — при повороте вектора скорости направление силы тоже должно поворачиваться, чтобы сила оставалась перпендикулярной скорости. Но это нетрудно осуществить: в качестве примеров можно указать шарик на веревке, камень на конце пращи или планету, вращающуюся по круговой орбите вокруг Солнца (фиг. 37).

Фиг. 37.