3. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

(Следует читать после гл. 2)

Декарт первым предложил использовать последние буквы алфавита или для обозначения неизвестных величин, а начальные буквы (а, Ь или с) для обозначения постоянных. Требуется, например, решить уравнение

которое означает, что произведение числа 3 на какое-то число равно 6. Тогда

следовательно, уравнение

имеет решение

Такие алгебраические уравнения можно рассматривать как условия на «неизвестные» величины, и они могут иметь одно или несколько возможных решений (т. е. значений неизвестных, удовлетворяющих исходным условиям).

Мы часто говорим о нахождении решений одного или нескольких уравнений. Принцип нахождения решений не очень отличается от

соответствующего житейского принципа. Если нам требуется убежище от дождя, подойдут и Версальский дворец и обычная пещера. Если помимо этого требуется отопление, Версальский дворец не подойдет. Если мы хотим построить дом, в котором могут жить четыре человека, который мог бы отапливаться, быть привлекательным и т. д., то существует много возможностей. Если же к этим требованиям добавить низкую стоимость, то мы можем попасть в ситуацию, когда решения не существует. Эта ситуация означает, что в мире нет объекта, удовлетворяющего всем выдвигаемым нами требованиям.

Когда мы пишем

это означает, что мы хотим найти все пары чисел для которых выполняется соотношение (например, Если изобразить на графике все эти пары чисел, мы получим прямую линию (тонкую линию на фиг. 394), т. е. линейную зависимость.

Фиг. 394.

Когда мы пишем

это означает, что мы хотим найти все пары чисел для которых выполняется соотношение (например, Графиком всех этих пар чисел снова является прямая линия (жирная линия на фиг. 394). Та пара чисел, которая удовлетворяет обоим этим уравнениям лежит на пересечении двух прямых.

Может случиться, что два уравнения не имеют общего «решения»:

что означает отсутствие такой пары чисел, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям; в этом случае соответствующие прямые параллельны

(фиг. 395). Или два уравнения имеют сколько угодно решений:

[Все пары чисел (х, у), удовлетворяющие первому уравнению, удовлетворяют и второму.] Прямые линии на графике при этом сливаются (фиг. 396).

Фиг. 395.

Фиг. 396.

[То обстоятельство, что в качестве решения может служить одна или все пары чисел соответствует постулату Евклида о том, что между двумя точками можно провести только одну прямую линию. Когда Декарт связал геометрические точки с парами чисел а прямые линии — с линейными уравнениями (где — постоянные числа), он создал так называемую аналитическую геометрию. Каждому геометрическому положению Декарту удалось найти соответствующее алгебраическое соотношение.]

Для решения уравнения часто требуется «обратить» его. Представим, что нам дано расстояние как функция времени:

и требуется найти время, за которое тело пройдет путь в 19,6 м. Решение имеет вид: когда . В общем случае надо найти как функцию Это можно сделать с помощью стандартных алгебраических операций:

откуда

В других случаях подобное обращение может оказаться не столь простым, но принцип остается прежним. Вероятно, процесс обращения проще понять графически. [Все пары чисел удовлетворяющие уравнению образуют кривую (параболу), показанную на фиг. 397. Тогда обращение состоит лишь в повороте картинки на 90°. До

обращения нам было задано и требовалось найти а после — задано и надо определить

В этих рассуждениях есть одна тонкость. Дело в том, что парабола имеет две ветви. Каждому значению соответствуют два значения удовлетворяющие уравнению так как

Иначе говоря, соотношение является однозначным [заданному значению соответствует лишь одно значение такое, что пара удовлетворяет уравнению]. Однако при заданном положительном значении уравнению удовлетворяют два значения

Фиг. 397.

Обычно смысл второго решения бывает ясным. Так, мы можем определить задачу лишь для положительных значений (как в случае примера Галилея, когда рассматривалось падение пушечного ядра, находившегося на верхушке мачты при Тогда «физический смысл» будут иметь лишь положительные значения Однако отрицательным значениям можно тоже приписать «физический смысл». Представим, например, что пушечное ядро было выпущено вверх при с с нужной скоростью. Тогда в момент оно достигнет верхушки мачты и начнет падать вниз. Ядро находится на расстоянии, скажем, от конца мачты при

Значение соответствует движению ядра вверх, а значение — движению вниз.

Фиг. 398.

Допустим, что корабль в примере Галилея движется со скоростью Спрашивается: какое расстояние с точки зрения матроса, стоящего на пристани, пролетит ядро по горизонтали, прежде чем оно упадет на палубу? Вертикальное движение ядра описывается формулой

а горизонтальное — формулой

Ядро падает на палубу через 2 с, так как

поэтому по горизонтали оно пролетит за это время путь

Таким образом, до падения на палубу ядро пройдет по горизонтали 6 м (фиг. 398).

В качестве второго примера рассмотрим движение ускоряющегося автомобиля «Феррари», пытающегося догнать «Фольксваген», едущий с постоянной скоростью в 15 м/с и прошедший пункт, где стартовал «Феррари», при . Для «Фольксвагена»

в то время как для «Феррари»

Фиг. 399.

«Феррари» догоняет «Фольксваген» при таких значениях которые удовлетворяют обоим уравнениям движения. При этом

или

т. е. мы получили квадратное уравнение, имеющее следующие решения:

Таким образом «Феррари» догонит «Фольксваген» через с Какой же «физический» смысл содержится во втором решении: с? Это решение не имеет «физического» смысла, если «Феррари» стартовал при Однако это решение можно все-таки истолковать. Допустим, что «Феррари» двигался сначала навстречу «Фольксвагену». Когда «Фольксваген» показался на горизонте, «Феррари» в какой-то момент начал равномерно замедляться по закону

Затем он встретился с «Фольксвагеном» при , остановился при начал ускоряться в обратном направлении и догнал «Фольксваген» при с. Так можно интерпретировать второе решение, если считать, что и левая ветвь параболы (фиг. 399) описывает физические явления.