6. ВЕКТОРЫ

(Следует читать после гл. 3)

Часто бывает удобно «разложить» вектор на две взаимно перпендикулярные составляющие. Из основного правила сложения векторов следует, что любой вектор может быть всегда сделан равным сумме двух других векторов.

Фиг. 408.

Конечно, такие два вектора не обязательно взаимно перпендикулярны. Вектор С можно разложить как на два взаимно перпендикулярных вектора (фиг. 408):

так и на два вектора, которые не перпендикулярны друг другу:

подобно тому, как

или

Однако оказывается удобнее разлагать вектор именно на две взаимно перпендикулярные (ортогональные) составляющие.

Фиг. 409.

В двумерном пространстве (например, на плоскости) все векторы можно представить в виде линейных комбинаций двух взаимно перпендикулярных единичных векторов (обозначаемых, как правило, буквами и Например,

вектор А (фиг. 409) можно записать в виде

Любой вектор на плоскости можно представить так:

где х и у — его компоненты (координаты).

В таком виде очень удобно складывать и вычитать любое количество векторов. Так, например, если

и

то

и

Сумма какого-либо числа векторов равна нулю, если суммы их компонент обращаются в нуль.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(Следует читать после гл. 11)

При определении таких величин, как работа, мы использовали произведение составляющей вектора в определенном направлении на величину расстояния, пройденного телом вдоль этого направления (фиг. 410). Как сила, так и расстояние являются векторными величинами, в то время как конечная интересующая нас величина (работа) является скаляром (числом, т. е. величиной без направления).

Поскольку такие операции с векторами встречаются очень часто, удобно ввести определение произведения, которое называется скалярным, или внутренним, произведением двух векторов. Для двух векторов

Фиг. 410.

скалярное произведение определяется следующим образом:

Поскольку

скалярное произведение можно записать в виде

Отсюда и на основании свойств

получаем следующий результат:

Если, например, дан вектор импульса который сохраняет свое направление при зеркальном отражении (см. гл. 55), и другой вектор о, связанный со спином частицы, который изменяет свое направление при отражении, то можно написать, что

Такая величина (изменяющая знак после отражения) называется псевдоскаляром.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

(Следует читать после гл. 20)

Часто две векторные величины (как, например, скорость частицы и магнитное поле в электромагнетизме) комбинируются так, что образуют третий вектор (в данном случае вектор силы):

Векторное, или внешнее, произведение векторов и В есть новый вектор. Его величина равна

а направление перпендикулярно плоскости, образоранной векторами V и В. Остается определить лишь знак нового вектора. Направлен ли он вверх или вниз? Знак векторного произведения определяется с помощью так называемого правила буравчика (или правила правой руки).

Фиг. 411.

Вектор стоящий в произведении первым, поворачивают в сторону вектора В по кратчайшему пути. Тогда направление совпадает с направлением поступательного движения буравчика, имеющего правую резьбу, если бы его поворачивали в ту же сторону, что и вектор (фиг. 411). В принципе направление векторного произведения можно было бы определить и противоположным образом (скажем, правилом левой руки или английского, т. е. левостороннего, буравчика). Требуется только быть последовательными.

Из определения сразу же следует, что

Далее, вектор перпендикулярен как так и В, и

Такие величины, как угловой момент или момент силы, можно представить в виде векторного произведения. Угловой момент частицы относительно точки (фиг. 412)

Если вектор перпендикулярен то

Фиг. 412.

Фиг. 413.

Аналогичным образом момент силы относительно точки (фиг. 413)

И снова, если вектор перпендикулярен то