19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые, причем они дополняют друг друга до 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами. изображенный на рисунке 54, прямоугольный, прямой, — гипотенуза, и — катеты.

Для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

Т. 1.23. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по гипотенузе и острому углу).

Т. 1.24. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по катету и противолежащему углу).

Т. 1.25. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по гипотенузе и катету).

В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

В треугольнике изображенном на рисунке прямой, 30°. Значит, в этом треугольнике

В прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора, названная в честь древнегреческого ученого Пифагора, жившего в VI в. до н. э.

Т. 1.26. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

Пусть — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С, катетами а и и гипотенузой с (рис. 56). Теорема утверждает, что

Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то наклонная больше перпендикуляра; равные наклонные имеют равные проекции; из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

На рисунке 57 из точки О к прямой а проведен перпендикуляр ОА и наклонные и при этом На основании вышесказанного: а) так как так как

Пример 1. В треугольниках и изображенных на рисунке Доказать равенство этих треугольников.

Решение. У треугольников и по условию как вертикальные (Т.1.4). Треугольники равны по катету и. противолежащему углу (Т.1.24).

Пример 2. В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося прямоугольника, если катеты треугольника равны 10 и 8 см.

Решение. В треугольнике (рис. прямой, — средние линии треугольника откуда

1. 13). Периметр прямоугольника равен 18 см.

Пример 3. В окружности, радиус которой 25 см, проведены по одну сторону от ее центра две параллельные хорды длиной 40 и 30 см. Найти расстояние между этими хордами.

Решение. Проведем радиус перпендикулярный хордам и соедщшм центр окружности О с точками (рис. 60). Треугольники и равнобедренные, так как и (как радиусы); и — высоты этих треугольников. По теореме 1.20 каждая из высот является одновременно медианой соответствующего треугольника, т. е.

Треугольники прямоугольные, в них найдем по теореме Пифагора .