§ 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла

Продолжим рассмотрение вопроса предыдущего параграфа. В каждом из отрезков возьмем по точке, которые обозначим (рис. 213): ,

Рис. 213.

В каждой из этих точек вычислим значение функции Составим сумму

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке . Так как при произвольном принадлежащем отрезку будет и все , то

следовательно,

или

Геометрический смысл последнего неравенства при состоит в том, что фигура, площадь которой равна ограничена ломаной, заключенной между «вписанной» ломаной и «описанной» ломаной.

Сумма зависит от способа разделения отрезка на отрезки и от выбора точек внутри получающихся отрезков.

Обозначим теперь через наибольшую из длин отрезков Рассмотрим различные разбиения отрезка на отрезки такие, что Очевидно, что при этом число отрезков в разбиении стремится к бесконечности. Для каждого разбиения, выбрав соответствующие значения можно составить интегральную сумму

Рассмотрим некоторую последовательность разбиений, при которых при этом При каждом разбиении выбираем значения Предположим, что эта последовательность интегральных сумм s стремится к некоторому пределу

Теперь мы можем сформулировать следующее

Определение 1. Если при любых разбиениях отрезка таких, что и при любом выборе точек на отрезках интегральная сумма

стремится к одному и тому же пределу s, то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают

Таким образом, по определению

Число а называется нижним пределом интеграла, b — верхним пределом интеграла. Отрезок называется отрезком интегрирования, х — переменной интегрирования.

Определение 2. Если для функции предел (6) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке

Заметим, что нижняя интегральная сумма и верхняя интегральная сумма являются частными случаями интегральной суммы (5), поэтому если интегрируема, то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу s, и потому на основании равенства (6) можем написать

Если построить график подынтегральной функции y = f(x), то в случае интеграл

будет численно равен площади так называемой криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми и осью

Рис. 214.

Поэтому если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), прямыми и осью то эта площадь Q вычисляется с помощью интеграла:

Докажем следующую важную теорему. Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке то она интегрируется на этом отрезке.

Доказательство. Снова разобьем отрезок на отрезки Составим нижнюю и верхнюю интегральные суммы:

Для дальнейшего установим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.

Свойство 1. При увеличении числа отрезков, на которые мы разбиваем отрезок путем добавления новых точек деления, нижняя интегральная сумма может только возрастать, а верхняя интегральная сумма только убывать.

Доказательство. Пусть отрезок разбит на отрезков путем добавления новых точек Если какой-то отрезок будет разбит на несколько отрезков, например, на отрезков, то в новой нижней интегральной сумме отрезку будет соответствовать слагаемых, которые мы обозначим через . В сумме этому отрезку соответствует одно слагаемое Но для суммы и величины справедливо неравенство, аналогичное неравенству (4) § 1. Мы можем написать

Написав соответствующие неравенства для каждого отрезка и суммируя левые и правые части, получим

Свойство 1 доказано.

Свойство 2. Нижняя интегрируемая сумма (9) и верхняя интегральная сумма (10) при неограниченном увеличении числа отрезков путем добавления новых точек деления стремятся к некоторым пределам

Доказательство. На основании неравенства (6) § 1 можем написать:

т. е. ограничена при всех n. На основании свойств монотонно возрастает при возрастании n. Следовательно, на основании теоремы о пределах (см. § 5 гл. II) эта переменная величина имеет предел; обозначим его через

Аналогично устанавливается, что ограничена снизу и монотонно убывает. Следовательно, имеет предел, который мы обозначим через

Свойство 3. Если функция непрерывна на замкнутом отрезке , то пределы , определенные в свойстве 2 при условии, что равны.

Этот общий предел обозначим через

Доказательство. Рассмотрим разность верхней и нижней интегральной суммы:

Обозначим через наибольшую из разностей при данном разбиении:

Можно доказать (на чем мы останавливаться не будем), что если функция непрерывна на замкнутом отрезке, то при любом

способе разбиения отрезка если только

Свойство непрерывной функции на замкнутом отрезке, выражаемое равенством (15), называется разномерной непрерывностью функции.

Итак, мы будем пользоваться теоремой: Непрерывная функция на замкнутом отрезке равномерно непрерывна на этом отрезке.

Вернемся к равенству (14). Каждую разность в правой части заменим не меньшей величиной Получаем неравенство

Переходя к пределу при получаем

т. е.

или что и требовалось доказать.

Свойство 4. Пусть и -нижняя и верхняя интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка на и соответственно на отрезков. Тогда имеет место неравенство

при любых

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка на отрезков, где точками деления будут точки деления первого и второго разбиений.

На основании неравенства (3) § 1 имеем

На основании свойства I имеем

Пользуясь соотношениями (20) и (21), можно расширить неравенство (19):

или

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Если функция непрерывна на отрезке то при любой последовательности разбиений отрезка на отрезки не обязательно путем присоединения новых точек деления, если только нижняя интегральная сумма 4 и верхняя интегральная сумма стремятся к пределу s, определенному в свойстве 3.

Доказательство. Рассмотрим последовательность разбиений последовательности верхних интегральных сумм определенных в свойстве 2. При любых значениях пит (на основании неравенства (18)) можем написать

Переходя к пределу при на основании (15) можем написать

Аналогичным способом докажем Итак,

или

Рассмотрим предел разности Так как функция непрерывна на замкнутом отрезке то (так же как и при доказательстве свойства 3) докажем (см. равенство (16)), что

Перепишем последнее соотношение так:

На основании (22) каждая из разностей, стоящих в квадратных скобках, неотрицательна. Следовательно,

и окончательно получаем

что и требовалось доказать.

Теперь можно доказать и сформулированную выше теорему. Пусть непрерывна на отрезке Рассмотрим произвольную

последовательность интегральных сумм , - такую, что - произвольная точка отрезка

Для данной последовательности разбиений рассмотрим соответствующие последовательности верхних и нижних интегральных сумм Для каждого разбиения будут справедливы соотношения (2):

Переходя к пределу при и пользуясь равенствами (23) и теоремой 4 § 5 гл. II, получаем где s — предел, определенный в свойстве 3.

Этот предел, как уже говорилось выше, и называется определенным интегралом Итак, если непрерывна на отрезке то

Отметим, что среди разрывных функций есть как интегрируемые, так и: неинтегрируемые.

Замечание 1. Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой. Шэтому, не изменяя величины определенного интеграла, можно заменить букву любой другой буквой:

Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что . В случае примем по определению

Так, например,

Замечание 3. В случае полагаем по определению, что для любой функции имеет место

Это естественно и с геометрической точки зрения. В самом деле, основание криволинейной трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь этой криволинейной трапеции равна нулю.

Пример 1. Вычислим .

Решение. Геометрически задача эквивалентна вычислению площади трапеции, ограниченной линиями

Функция стоящая под знаком интеграла, непрерывна. Следовательно, для вычисления определенного интеграла мы вправе, как это было замечено выше, произвести разбиение отрезка произвольным способом и произвольно выбрать промежуточные точки . Результат вычисления определенного интеграла не зависит от способа построения интегральной суммы — лишь бы шаг разбиения стремился к нулю.

Делим отрезок на равных отрезков.

Рис. 215.

Рис. 216.

Длина каждого частичного отрезка равна это число и будет шагом разбиения. Точки деления имеют координаты . В качестве точек возьмем левые концы каждого отрезка: .

Составим интегральную сумму (1). Так как

где Учитывая, что сумма

геометрической прогрессии), получим

Так как

Итак,

Площадь (рис. 215) легко вычислить методами элементарной геометрии.

Результат получится тот же.

Пример 2. Вычислить

Решение. Данный интеграл равен площади Q криволинейной трапеции, ограниченной параболой ординатой и прямой

Разобьем отрезок на равных частей точками

За точки возьмем крайние правые точки каждого отрезков. Составим интегральную сумму:

Как известно, поэтому

Пример 3. Вычислить

Решение.

Здесь есть сумма длин отрезков, на которые разбит отрезок

При любом способе разбиения эта сумма равна длине отрезка

Пример 4. Вычислить

Решение. Снова разделим отрезок на равных частей:

За точки возьмем левые крайние

точки. Составим интегральную сумму:

Выражение в скобках есть геометрическая прогрессия со знаменателем дпервым членом 1, поэтому Далее, имеем правилу Лопиталя Таким образом,

Замечание 4. Только что рассмотренные примеры показывают, что непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с большими трудностями. Даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются очень простыми , этот способ требует громоздких подсчетов. Нахождение же определенных интегралов от более сложных функций приводит к еще большим трудностям. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов. Этот метод, открытый Ньютоном и Лейбницем, использует глубокую связь, существующую между интегрированием и дифференцированием. Изложению и обоснованию этого метода посвящены следующие параграфы настоящей главы.