ПРЕДИСЛОВИЕ

Современный этап в развитии теории систем и системного анализа отмечен обращением к чрезвычайно сложным и плохо определенным системам, связанным с деятельностью людей. Для решения задач, возникающих в процессе управления такими системами, имеющейся объективной информации оказывается явнонедостаточно и тогда дополнительно привлекается субъективная информация — индивидуальные суждения высококвалифицированных специалистов (экспертов). В этих условиях особенно повышается роль субъективной информации, а также выдвигаются новые требования к методам ее обработки и к обоснованности решений, принимаемых на ее основе.

В реальных задачах принятия решений с использованием экспертных суждений трудно рассчитывать на то, что при поиске решения можно будет ограничиться формальными математическими методами, однако их использование зачастую становится полезным и необходимым на разных этапах фомирования приемлемого коллективного решения. Очевидно, что при решении многих задач системного анализа тот или иной способ принятия решения должен опираться на групповые суждения экспертов. Попытка усреднить отдельные мнения часто приводит к тому, что с этим средним мнением каждый эксперт в отдельности согласен не больше, чем, может быть, с точкой зрения другого эксперта. Поэтому особое внимание привлекают такие способы построения групповых решений, которые опирались бы не столько на формальные правила, сколько на «разумные», легко воспринимаемые людьми принципы, позволяющие придавать содержательное толкование получаемым решениям.

К таким «разумным», «естественным» принципам относится принцип единогласия Парето для согласования индивидуальных предпочтений. Пожалуй, ни один другой принцип согласования не обсуждался в научной литературе так глубоко и детально, как этот, и в то же самое время он, пожалуй, единственный, для которого не существовало техники получения групповых решений. Это обстоятельство, ввиду практической важности проблемы

построения групповых решений предопределяет интерес к поиску математического аппарата для получения групповых решений, удовлетворяющих принципу единогласия Парето. Использование принципа Парето позволяет сделать акцент в сторону максимального учета индивидуальных предпочтений экспертов и разработать такую общую процедуру, чтобы усредненное мнение более или менее удовлетворяло все множество экспертов.

Настоящая работа лежит в русле того направления в моделировании группового выбора, которое трактует индивидуальные мнения (предпочтения) как точки в пространстве соответствующих бинарных отношений. Распространенное понимаиие принципа Парето как принципа отбраковки тех и только тех альтернатив, которые «единогласно подчинены» другим альтернативам, сводится к построению «пересечения» индивидуальных бинарных отношений. В книге используется более широкое истолкование принципа Парето как лишь необходимого (не обязательно достаточного) условия для группового решения, но зато отнесенного не только к «отбраковке», но и к «принятию» альтернатив. Это истолкование сводится к выделению в качестве группового предпочтения некоторого «промежуточного» бинарного отношения «между» заданными индивидуальными отношениями. Изучение формализации понятий «промежуточности» и производных от него понятий «выпуклости» и т. п. в пространстве отношений позволило развить «геометрический» взгляд на изучаемые объекты.

При разработке этого «геометрического» подхода автор исходил из более широкой задачи: провести общее исследование геометрии пространств отношений индивидуального предпочтения, наиболее распространенных в практике экспертного метода. Надо отметить, что для решения задачи группового выбора в пространствах отношений традиционно применяется метрическая структура, которая используется в общеизвестных «механических» правилах нахождения группового решения — в медианах и средних. При этом в стороне остаются такие геометрические структуры, как «между», выпуклости, частичного порядка и др. Исследование именно таких структур является целью настоящей работы.

Исследования геометрических структур проводятся для пространств двух типов бинарных отношений: обычных (четких) и нечетких. Общая схема исследований следующая: рассматриваются два варианта понятия «между» для отношений и соответственно два варианта понятия «выпуклости» множества отношений, исследуется взаимосвязь между ними и предлагается алгоритм построения выпуклой оболочки множества индивидуальных отношений и его «ядра», содержащего искомые групповые решения, т. е. решения, удовлетворяющие принципу единогласия Парето.

Исследование геометрических структур проводится на двух уровнях общности: сначала проводится общее рассмотрение

пространств бинарных отношений (четких или нечетких) без конкретизации типа отношений, а затем результаты переносятся на конкретные пространства. Так, для пространств четких бинарных отношений вводится понятие полных пространств, рассмотрение которых допускает изучение конкретных пространств с общих позиций и упрощает доказательства; доказывается теорема о существовании линейного сегмента в произвольном пространстве бинарных отношений; для полных пространств доказывается эквивалентность двух определений выпуклости, одно из которых есть полный аналог соответствующего понятия в евклидовой геометрии, а другое экспликация принципа Парето и т. д. Вместе с тем результаты общего изучения нельзя перенести механически в некоторые конкретные пространства и здесь требуется проведение дальнейших исследований. Так, например, остался невыясненным вопрос о том, является ли пространство линейных квазипорядков полным пространством; понятие «ядра» исходной совокупности индивидуальных предпочтений может рассматриваться в различных модифицированных вариантах, отвечающих специфике решаемой задачи, и требует поиска структурных характеристик.

В настоящей работе результаты общего изучения геометрии пространств предпочтений исследуются в приложении к пространствам частичных порядков и квазитранзитивных отношений, и решение задачи группового выбора доводится в них до машинных алгоритмов.

Методологическая особенность развиваемого в работе подхода состоит в том, что поиску единственного группового решения сначала предшествует построение множества «допустимых» групповых решений, удовлетворяющих принципу Парето. Выбор единственного группового решения производится уже из построенного множества допустимых групповых решений.

Интерес к пространствам нечетких отношений связан с тем, что язык теории нечетких отношений позволяет получать оценки той степени (меры, вероятности), с которой исследуемые объекты находятся в данном отношении, и поэтому во многих практических задачах оказывается наиболее адекватным условиям экспертного оценивания и целям экспертизы.

Во второй части монографии последовательно осуществляется перенос ряда результатов, полученных для четких отношений, на случай нечетких бинарных отношений, что влечет наряду с естественным обобщением и необходимость преодоления определенных трудностей. Так, кроме общих исследований пространств нечетких отношений по вышеописанной схеме, в пространстве нечетких частичных порядков доказывается ряд специальных свойств, вводится мера близости, на основе понятия ядра строится множество допустимых групповых решений, предлагается

способ построения единственного группового решения в этом пространстве с использованием операции арифметического осреднения.

В предлагаемой книге рассматриваются и практические аспекты применения разработанного подхода к задачам анализа экспертных суждений, предлагается специальная процедура, ориентированная на получение искомых решений, описываются машинные алгоритмы их построения. Для того чтобы облегчить прочтение книги, вводимые в работе понятия и получаемые результаты подробно иллюстрируются простыми примерами.

Основные идеи геометрического подхода и место их изложения в книге представлены в следующей таблице:

В заключительной главе XII предлагается метод получения нечетких отношений индивидуального предпочтения и один подход к проблеме выбора на основе получающихся нечетких отношений предпочтения.

Мне хотелось бы выразить признательность целому ряду лиц, содействовавших подготовке книги: покойному Э. М. Браверману, который первым ознакомился с идеей подхода, развиваемого в книге, и признал за ним право на существование, М. А. Айзерману и А. В. Малишевскому за обсуждение и полезные советы, связанные с содержанием книги, О. А. Коссову, своему научному руководителю в работе над «четкой» частью, Л. Д. Мешалкину и А. И. Орлову, просмотревшим рукопись книги и сделавшим ценные замечания, своему постоянному соавтору С. В. Овчинникову, Б. Д. Ланда, многие годы принимавшему доброжелательное участие в обсуждении материала книги. Разумеется, за все ошибки и недочеты отвечаю я лично.

1979 г. В. Кузьмин